Какое наибольшее целое значение параметра а обеспечит выполнение неравенства (1-2а)х2 + х - а +0,25≥0 для любых

Skolzkiy_Pingvin

51

Хорошо, давайте решим данное неравенство.

Начнем с того, что приведем его к квадратному уравнению. Для этого умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от дроби:
$$4(1-2a)x^2+4x-4a+1\ge 0.$$

Разберемся с коэффициентами перед переменными. Мы должны выбрать такое значение параметра $a$, чтобы коэффициент перед $x^2$ был положительным числом (чтобы квадратное уравнение имело решения).

Первый коэффициент равен $4(1-2a)$. Нам необходимо, чтобы это было положительное число, поэтому нам нужно, чтобы выражение $1-2a$ было отрицательным:
$$1-2a<0.$$

Решим данное неравенство:
$$-2a<-1.$$

Домножим обе части неравенства на $-\frac{1}{2}$ и поменяем знак на противоположный:
$$a>\frac{1}{2}.$$

Таким образом, мы нашли, что $a$ должно быть больше $\frac{1}{2}$.

Теперь перейдем к решению квадратного уравнения. Мы знаем, что у него есть решения, если дискриминант ($D$) неотрицательный или равен нулю. Дискриминант вычисляется по формуле $D=b^2-4ac$, где $a$, $b$ и $c$ - коэффициенты квадратного уравнения.

В нашем случае, $a=4(1-2a)$, $b=4$, $c=-4a+1$.

Подставим значения в формулу для дискриминанта:
$$D=(4{)}^2-4\cdot 4(1-2a)(-4a+1).$$

Вычислив данное выражение, получим:
$$D=16-16(1-2a)(-4a+1).$$

Теперь у нас есть некоторое выражение для дискриминанта, в котором присутствует параметр $a$.

Мы знаем, что дискриминант должен быть неотрицательным или равным нулю:
$$D\ge 0.$$

Раскроем скобки и упростим это неравенство:
$$16+16(1-2a)(-4a+1)\ge 0.$$

Выполним вычисления:
$$16+16(-4a+1+8a^2-2a)\ge 0.$$

Упростим полученное выражение:
$$16-64a+16+128a^2-32a\ge 0.$$

Сгруппируем слагаемые и упростим еще больше:
$$128a^2-96a+32\ge 0.$$

Теперь мы имеем квадратное уравнение, и нам нужно найти значения параметра $a$, при которых оно имеет решения.

Заметим, что все коэффициенты кратны 32, поэтому мы можем разделить все слагаемые на 32 для упрощения записи:
$$4a^2-3a+1\ge 0.$$

Теперь решим это квадратное неравенство с помощью метода интервалов. Для этого найдем его корни, так как они разбивают числовую прямую на интервалы, где неравенство будет либо верно, либо неверно.

Находим корни квадратного уравнения:
$$a=\frac{-(-3)\pm \sqrt{(-3{)}^2-4\cdot 4\cdot 1}}{2\cdot 4}=\frac{3\pm \sqrt{9-16}}{8}=\frac{3\pm \sqrt{-7}}{8}.$$

Так как подкоренное выражение отрицательное, у нас нет действительных корней. Это означает, что неравенство $4a^2-3a+1\ge 0$ никогда не выполняется для любых значений $a$.

Таким образом, ответ на задачу "Какое наибольшее целое значение параметра $a$ обеспечит выполнение неравенства $(1-2a)x^2+x-a+0.25\ge 0$ для любых значений $x$" - нет такого значения параметра $a$, при котором данное неравенство выполняется для любых значений $x$.