Какое наибольшее целое значение параметра а обеспечит выполнение неравенства (1-2а)х2 + х - а +0,25≥0 для любых

Skolzkiy_Pingvin

51

Хорошо, давайте решим данное неравенство.

Начнем с того, что приведем его к квадратному уравнению. Для этого умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от дроби:
\[4(1 - 2a)x^2 + 4x - 4a + 1 \geq 0.\]

Разберемся с коэффициентами перед переменными. Мы должны выбрать такое значение параметра \(a\), чтобы коэффициент перед \(x^2\) был положительным числом (чтобы квадратное уравнение имело решения).

Первый коэффициент равен \(4(1-2a)\). Нам необходимо, чтобы это было положительное число, поэтому нам нужно, чтобы выражение \(1-2a\) было отрицательным:
\[1 - 2a < 0.\]

Решим данное неравенство:
\[-2a < -1.\]

Домножим обе части неравенства на \(-\frac{1}{2}\) и поменяем знак на противоположный:
\[a > \frac{1}{2}.\]

Таким образом, мы нашли, что \(a\) должно быть больше \(\frac{1}{2}\).

Теперь перейдем к решению квадратного уравнения. Мы знаем, что у него есть решения, если дискриминант (\(D\)) неотрицательный или равен нулю. Дискриминант вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения.

В нашем случае, \(a = 4(1-2a)\), \(b = 4\), \(c = - 4a + 1\).

Подставим значения в формулу для дискриминанта:
\[D = (4)^2 - 4 \cdot 4(1-2a)(-4a+1).\]

Вычислив данное выражение, получим:
\[D = 16 - 16(1-2a)(-4a+1).\]

Теперь у нас есть некоторое выражение для дискриминанта, в котором присутствует параметр \(a\).

Мы знаем, что дискриминант должен быть неотрицательным или равным нулю:
\[D \geq 0.\]

Раскроем скобки и упростим это неравенство:
\[16 + 16(1-2a)(-4a+1) \geq 0.\]

Выполним вычисления:
\[16 + 16(-4a+1+8a^2-2a) \geq 0.\]

Упростим полученное выражение:
\[16 - 64a + 16 + 128a^2 - 32a \geq 0.\]

Сгруппируем слагаемые и упростим еще больше:
\[128a^2 - 96a + 32 \geq 0.\]

Теперь мы имеем квадратное уравнение, и нам нужно найти значения параметра \(a\), при которых оно имеет решения.

Заметим, что все коэффициенты кратны 32, поэтому мы можем разделить все слагаемые на 32 для упрощения записи:
\[4a^2 - 3a + 1 \geq 0.\]

Теперь решим это квадратное неравенство с помощью метода интервалов. Для этого найдем его корни, так как они разбивают числовую прямую на интервалы, где неравенство будет либо верно, либо неверно.

Находим корни квадратного уравнения:
\[a = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4} = \frac{3 \pm \sqrt{9-16}}{8} = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{8}.\]

Так как подкоренное выражение отрицательное, у нас нет действительных корней. Это означает, что неравенство \(4a^2 - 3a + 1 \geq 0\) никогда не выполняется для любых значений \(a\).

Таким образом, ответ на задачу "Какое наибольшее целое значение параметра \(a\) обеспечит выполнение неравенства \((1-2a)x^2 + x - a + 0.25 \geq 0\) для любых значений \(x\)" - нет такого значения параметра \(a\), при котором данное неравенство выполняется для любых значений \(x\).