Какое наибольшее значение достигает функция log1/3(x^2+6x+12) на интервале [-19

Мурчик

18

Для начала, давайте разберемся с тем, что представляет собой функция \(\log_{\frac{1}{3}}(x^2+6x+12)\). В данном случае, \(\log_{\frac{1}{3}}\) обозначает логарифм по основанию \(\frac{1}{3}\).

У нас есть задача найти наибольшее значение этой функции на интервале \([-19, +\infty)\). Для этого нам необходимо проанализировать поведение функции на данном интервале.

1. Найдем допустимое множество значений функции \((x^2+6x+12)\):
\[x^2+6x+12 \geq 0\]
Для определенности, давайте решим квадратное уравнение:
\[(x+3)(x+4) \geq 0\]
Здесь мы получаем два фактора \((x+3)\) и \((x+4)\). Чтобы выражение было больше или равно нулю, оба фактора должны иметь одинаковый знак. Это возможно, если:
\[(x+3) \geq 0\] и \[(x+4) \geq 0\]
Решая эти неравенства, мы получаем:
\[x \geq -3\] и \[x \geq -4\]
Если мы соединим эти два неравенства, получаем интервал \([-3, +\infty)\), который является допустимым множеством значений функции \((x^2+6x+12)\).

2. Теперь рассмотрим поведение функции \(\log_{\frac{1}{3}}(x^2+6x+12)\) на интервале \([-3, +\infty)\). Для этого нам необходимо проанализировать основание логарифма.

Основание \(\frac{1}{3}\) меньше единицы и больше нуля. Это означает, что логарифм \(\log_{\frac{1}{3}}(x^2+6x+12)\) будет возрастать, когда аргумент \((x^2+6x+12)\) будет увеличиваться. Следовательно, наша функция будет иметь наибольшее значение в точке \(x = -3\) (начало интервала).

3. Проверим это, подставив \(x = -3\) в нашу функцию:
\[\log_{\frac{1}{3}}((-3)^2+6(-3)+12) = \log_{\frac{1}{3}}(9-18+12) = \log_{\frac{1}{3}}(3)\]

Используя свойство логарифма \(\log_a(a) = 1\), мы получаем:
\[\log_{\frac{1}{3}}(3) = 1\]

Таким образом, наша функция \(\log_{\frac{1}{3}}(x^2+6x+12)\) достигает своего наибольшего значения, которое равно 1, на интервале \([-3, +\infty)\).

Итак, ответ на задачу: наибольшее значение функции \(\log_{\frac{1}{3}}(x^2+6x+12)\) на интервале \([-19, +\infty)\) равно 1.