Какое наибольшее значение достигает функция log1/3(x^2+6x+12) на интервале [-19

Мурчик

18

Для начала, давайте разберемся с тем, что представляет собой функция ${\log }_{\frac{1}{3}}(x^2+6x+12)$. В данном случае, ${\log }_{\frac{1}{3}}$ обозначает логарифм по основанию $\frac{1}{3}$.

У нас есть задача найти наибольшее значение этой функции на интервале $[-19,+\mathrm{\infty })$. Для этого нам необходимо проанализировать поведение функции на данном интервале.

1. Найдем допустимое множество значений функции $(x^2+6x+12)$:
$$x^2+6x+12\ge 0$$
Для определенности, давайте решим квадратное уравнение:
$$(x+3)(x+4)\ge 0$$
Здесь мы получаем два фактора $(x+3)$ и $(x+4)$. Чтобы выражение было больше или равно нулю, оба фактора должны иметь одинаковый знак. Это возможно, если:
$$(x+3)\ge 0$$ и $$(x+4)\ge 0$$
Решая эти неравенства, мы получаем:
$$x\ge -3$$ и $$x\ge -4$$
Если мы соединим эти два неравенства, получаем интервал $[-3,+\mathrm{\infty })$, который является допустимым множеством значений функции $(x^2+6x+12)$.

2. Теперь рассмотрим поведение функции ${\log }_{\frac{1}{3}}(x^2+6x+12)$ на интервале $[-3,+\mathrm{\infty })$. Для этого нам необходимо проанализировать основание логарифма.

Основание $\frac{1}{3}$ меньше единицы и больше нуля. Это означает, что логарифм ${\log }_{\frac{1}{3}}(x^2+6x+12)$ будет возрастать, когда аргумент $(x^2+6x+12)$ будет увеличиваться. Следовательно, наша функция будет иметь наибольшее значение в точке $x=-3$ (начало интервала).

3. Проверим это, подставив $x=-3$ в нашу функцию:
$${\log }_{\frac{1}{3}}((-3{)}^2+6(-3)+12)={\log }_{\frac{1}{3}}(9-18+12)={\log }_{\frac{1}{3}}(3)$$

Используя свойство логарифма ${\log }_a(a)=1$, мы получаем:
$${\log }_{\frac{1}{3}}(3)=1$$

Таким образом, наша функция ${\log }_{\frac{1}{3}}(x^2+6x+12)$ достигает своего наибольшего значения, которое равно 1, на интервале $[-3,+\mathrm{\infty })$.

Итак, ответ на задачу: наибольшее значение функции ${\log }_{\frac{1}{3}}(x^2+6x+12)$ на интервале $[-19,+\mathrm{\infty })$ равно 1.