Какое натуральное число нужно умножить на 999, чтобы получить число, состоящее только из единиц? (с комментарием

Chudesnaya_Zvezda

33

Хорошо, для решения этой задачи мы должны понять, какое число умножить на 999, чтобы получить число, состоящее только из единиц.

Давайте начнем с того, что умножим некоторое натуральное число \(x\) на 999:
\[999x\]

Чтобы получить число, состоящее только из единиц, у нас должно быть следующее равенство:
\[999x = 111...111\]

Допустим, что число из единиц состоит из \(n\) единиц. В этом случае мы можем записать его как \(10^n - 1\), потому что \(10^n\) - это число, состоящее из единиц, следующее за числом с \(n\) единицами, и вычитание 1 даст нам требуемое число.

Теперь подставим это в наше равенство:
\[999x = 10^n - 1\]

У нас есть следующая ситуация: число 999 делится на 9, поскольку сумма его цифр равна 27, что делится на 9. А \(10^n - 1\) также делится на 9 для любого натурального числа \(n\). Поэтому, для нашего равенства сейчас, \(x\) также должно делиться на 9.

Теперь давайте рассмотрим наше равенство более подробно:
\[999x = 10^n - 1\]

Мы знаем, что 999 делится на 9, поэтому и \(10^n - 1\) также должно делиться на 9. Найдем остаток от деления \(10^n - 1\) на 9:

\[
(10^n - 1) \mod 9 = 0
\]

Остаток от деления \(10^n\) на 9 можем записать как \(1^n = 1\). Таким образом, получаем:

\[
(1 - 1) \mod 9 = 0
\]

Теперь мы можем записать наше равенство следующим образом:
\[999x \mod 9 = 0\]

То есть, чтобы найти число, которое нужно умножить на 999, чтобы получить число, состоящее только из единиц, нам нужно найти такое натуральное число \(x\), которое, умноженное на 999, будет иметь остаток от деления на 9 равный 0.

Найдем это число. Для этого нам нужно разложить число 999 на простые множители и посмотреть, какой из множителей даст нам остаток 0 при делении на 9.

Разложим число 999 на простые множители:
\[999 = 3^3 \times 37\]

Исходя из этого разложения, мы видим, что простой множитель 3 дает нам остаток 0 при делении на 9. Поэтому, чтобы получить число, состоящее только из единиц, нам нужно умножить 999 на 3.

Ответ: Чтобы получить число, состоящее только из единиц, нужно умножить 999 на 3.

Пояснение: Мы разложили число 999 на простые множители и использовали свойство того, что остаток от деления числа на 9 равен остатку от деления суммы его цифр на 9. Затем мы нашли такой простой множитель, который дает нам остаток 0 при делении на 9 в разложении числа 999 и использовали его для нахождения ответа.