Какое нормальное ускорение у точки в момент времени t = 6 с, если она движется по окружности с радиусом r = 3 м и имеет

Fedor_5632

66

Чтобы вычислить нормальное ускорение точки, движущейся по окружности, мы можем использовать соотношение между тремя видами ускорения: касательным, нормальным и центростремительным. В данном случае, у нас уже известно касательное ускорение \(a_t = 0.2 \, \text{м/с}^2\), и нам нужно найти нормальное ускорение. Для этого мы можем использовать следующую формулу:

\[a_n = r \omega^2\]

Где:
- \(a_n\) - нормальное ускорение
- \(r\) - радиус окружности
- \(\omega\) - угловая скорость

Чтобы найти угловую скорость, мы можем использовать следующую формулу, связывающую ее с касательным ускорением:

\[a_t = r \alpha\]

Где:
- \(\alpha\) - угловое ускорение

У нас нет информации об угловом ускорении \(\alpha\), но мы можем выразить его через угловую скорость:

\[\alpha = \frac{d\omega}{dt}\]

Теперь мы можем проинтегрировать это выражение, чтобы получить угловую скорость:

\[\int d\omega = \int \alpha \, dt\]

Поскольку угловое ускорение \(\alpha\) постоянно, его можно вынести из-под знака интеграла:

\[\omega = \alpha t + C_1\]

Где \(C_1\) - постоянная интегрирования. Чтобы найти ее, нам нужно использовать начальные условия. Мы знаем, что, когда \(t = 0\), \(\omega = 0\), так как начально точка покоится на окружности. Подставляя эти значения, мы получим:

\[0 = \alpha \cdot 0 + C_1\]
\[C_1 = 0\]

Таким образом, у нас получается следующее выражение для угловой скорости:

\[\omega = \alpha t\]

Теперь мы можем использовать это выражение для вычисления нормального ускорения:

\[a_n = r \omega^2\]

Подставляя значения \(r = 3 \, \text{м}\) и \(\omega = \alpha t\), получаем:

\[a_n = 3 \cdot (\alpha t)^2\]

Теперь давайте рассмотрим момент времени \(t = 6 \, \text{с}\). Подставляя это значение в выражение, получим:

\[a_n = 3 \cdot (\alpha \cdot 6)^2\]

Мы знаем, что касательное ускорение \(a_t = 0.2 \, \text{м/с}^2\), поэтому мы можем подставить это значение в уравнение для углового ускорения:

\[0.2 = r \cdot \alpha\]

Подставляя значение радиуса \(r = 3 \, \text{м}\), получим:

\[0.2 = 3 \cdot \alpha\]

Мы можем решить это уравнение относительно \(\alpha\):

\[\alpha = \frac{0.2}{3} \, \text{м/с}^2\]

Теперь мы можем подставить это значение \(\alpha\) в уравнение для нормального ускорения:

\[a_n = 3 \cdot (\frac{0.2}{3} \cdot 6)^2\]

После упрощения получаем:

\[a_n = 0.8 \, \text{м/с}^2\]

Таким образом, нормальное ускорение точки в момент времени \(t = 6 \, \text{с}\) равно \(0.8 \, \text{м/с}^2\).