Какое расстояние от точки P до стороны AB прямоугольника ABCD?

Карамель

13

Для решения этой задачи нам понадобится использовать геометрические понятия и формулу расстояния от точки до прямой.

Давайте представим прямоугольник ABCD на плоскости:

A _________ B
| |
| P |
|_________|
D C

Дано, что точка P находится внутри прямоугольника ABCD. Наша задача - найти расстояние от точки P до стороны AB.

Для начала, давайте обратимся к геометрическому понятию - высоты треугольника. Мы можем провести перпендикуляр из точки P к стороне AB, и это перпендикуляр будет являться высотой треугольника PAB. Пусть H - точка пересечения перпендикуляра с AB.

Теперь, когда у нас есть высота треугольника, мы можем применить формулу для расстояния от точки до прямой. Эта формула говорит нам, что расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Таким образом, расстояние от точки P до стороны AB равно длине отрезка PH.

Теперь, чтобы найти эту длину, мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника PAB. Представим треугольник PAB на плоскости:

A _________ B
| |
| P |
|_________|
D C

Заметим, что треугольник PAB имеет прямой угол в вершине P. Поэтому, если мы знаем длины сторон треугольника PAB, мы можем применить теорему Пифагора:

\(\mathrm{{AB}}^2 = \mathrm{{PA}}^2 + \mathrm{{PB}}^2\)

Теперь нам нужно найти длины сторон треугольника PAB. Давайте обозначим координаты точек A, B и P: пусть \(A = (x_1, y_1)\), \(B = (x_2, y_2)\) и \(P = (x, y)\).

Длина стороны AB может быть найдена по формуле длины отрезка между двумя точками в координатной плоскости:

\(\mathrm{{AB}} = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\)

Аналогично, найдем длины сторон PA и PB:

\(\mathrm{{PA}} = \sqrt{{(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2}}\)

\(\mathrm{{PB}} = \sqrt{{(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2}}\)

Теперь мы можем подставить значения в формулу теоремы Пифагора:

\(\mathrm{{AB}}^2 = \mathrm{{PA}}^2 + \mathrm{{PB}}^2\)

\((\sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}})^2 = (\sqrt{{(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2}})^2 + (\sqrt{{(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2}})^2\)

\((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 = (x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 + (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2\)

Раскрыв скобки и сократив подобные слагаемые, мы получим:

\(x_2^2 - 2x_1x_2 + x_1^2 + y_2^2 - 2y_1y_2 + y_1^2 = x^2 - 2x_1x + x_1^2 + y^2 - 2y_1y + y_1^2 + x^2 - 2x_2x + x_2^2 + y^2 - 2y_2y + y_2^2\)

Сокращая другие подобные слагаемые, у нас остаются:

\(-2x_1x_2 - 2y_1y_2 = -2x_1x - 2y_1y - 2x_2x - 2y_2y\)

Теперь давайте выразим x и y:

\(x = \frac{{x_1 + x_2}}{2}\)

\(y = \frac{{y_1 + y_2}}{2}\)

Поставив эти значения в уравнение, мы получаем:

\(-2x_1x_2 - 2y_1y_2 = -2(\frac{{x_1 + x_2}}{2})x - 2(\frac{{y_1 + y_2}}{2})y\)

Упрощая выражение, получаем:

\(x_1x_2 + y_1y_2 = xx_1 + yy_1 + xx_2 + yy_2\)

Теперь у нас есть уравнение, которое связывает координаты точки P, точек A и B. Мы можем использовать это уравнение для нахождения координат точки H, которая является точкой пересечения перпендикуляра с AB.

Решая это уравнение, мы получим значения x и y для точки H:

\(x = \frac{{(x_1x_2 + y_1y_2 - xx_1 - yy_1 - xx_2 - yy_2)}}{{(x_1 + x_2 - 2x)}}\)

\(y = \frac{{(x_1 + x_2)(y_1 + y_2) - xx_1 - yy_1 - xx_2 - yy_2}}{{(x_1 + x_2 - 2x)}}\)

Теперь, когда у нас есть значения x и y для точки H, мы можем найти длину отрезка PH, которая и является расстоянием от точки P до стороны AB:

\(\mathrm{{PH}} = \sqrt{{(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2}}\)

Подставляем значения x и y, которые мы уже нашли в формуле:

\(\mathrm{{PH}} = \sqrt{{(\frac{{(x_1x_2 + y_1y_2 - xx_1 - yy_1 - xx_2 - yy_2)}}{{(x_1 + x_2 - 2x)}} - x_1)^2 + (\frac{{(x_1 + x_2)(y_1 + y_2) - xx_1 - yy_1 - xx_2 - yy_2}}{{(x_1 + x_2 - 2x)}} - y_1)^2}}\)

Таким образом, мы получили полное пошаговое решение задачи по нахождению расстояния от точки P до стороны AB прямоугольника ABCD. Теперь у нас есть формула, которую мы можем использовать для конкретных значений координат точек A, B и P, чтобы решить эту задачу.