Какое самое маленькое значение может принимать функция y=10x-ln(x+10)^10?

Morskoy_Skazochnik

39

Давайте решим эту задачу поэтапно.

1. Сначала заметим, что функция имеет вид y = 10x - ln((x + 10)^10).
2. Для нахождения самого маленького значения функции, мы должны определить, когда производная функции равна нулю.
3. Найдем производную функции y по переменной x с помощью правила дифференцирования сложной функции и правила дифференцирования логарифма. Применим эти правила шаг за шагом:
a. Правило дифференцирования сложной функции (chain rule): d(u^n)/dx = n * u^(n-1) * du/dx
b. Правило дифференцирования логарифма: d(ln(u))/dx = du/dx / u
c. Применим оба этих правила, чтобы найти производную функции y:
- Производная первого слагаемого (10x) равна 10.
- Производная второго слагаемого (-ln((x + 10)^10)) рассчитывается следующим образом:
- Применим правило дифференцирования сложной функции: du/dx = 10 * (x + 10)^(10-1) * d(x+10)/dx = 10 * (x + 10)^9.
- Применим правило дифференцирования логарифма: d(ln(u))/dx = (du/dx) / u = (10 * (x + 10)^9) / (x + 10)^10 = 10/(x + 10).
- Таким образом, производная функции y равна 10 - 10/(x + 10).
4. Теперь приравняем производную функции к нулю и решим уравнение:
10 - 10/(x + 10) = 0.
5. Решим это уравнение:
- Перенесем слагаемое справа влево: 10/(x + 10) = 10.
- Умножим обе части уравнения на (x + 10), чтобы избавиться от знаменателя: 10 = 10(x + 10).
- Раскроем скобки: 10 = 10x + 100.
- Перенесем слагаемое 10x влево, а 100 вправо: 10 - 100 = 10x.
- Вычислим: -90 = 10x.
- Разделим обе части уравнения на 10: -9 = x.
6. Получили значение x = -9.
7. Подставим это значение x обратно в исходную функцию для нахождения соответствующего значения y:
y = 10 * (-9) - ln((-9 + 10)^10).
Как видно, при x = -9, внутри логарифма будет (-9 + 10) = 1, что делает логарифм равным нулю.
Таким образом, при x = -9, значение функции определено как y = 10 * (-9) - 0 = -90.

Итак, самое маленькое значение функции y=10x-ln(x+10)^10 равно -90.