Какое значение m необходимо, чтобы векторы a(3;-4) и b(m;9) были: 1) параллельными; 2) перпендикулярными?

Yarost

47

Для того чтобы выяснить значения \( m \), которые сделают векторы \( \mathbf{a}(3;-4) \) и \( \mathbf{b}(m;9) \) параллельными и перпендикулярными, мы можем использовать свойства векторов.

1) Чтобы векторы были параллельными, необходимо, чтобы их направления совпадали. Направление вектора можно представить как отношение между величиной его координат. В данном случае, отношение между координатами \( x \) и \( y \) вектора \( \mathbf{a} \) равно:

\[
\frac{{x}}{{y}} = \frac{{3}}{{-4}} = -\frac{{3}}{{4}}
\]

Аналогичным образом, отношение координат вектора \( \mathbf{b} \) равно:

\[
\frac{{x}}{{y}} = \frac{{m}}{{9}}
\]

Для того чтобы векторы были параллельными, отношение между координатами обоих векторов должно быть одинаковым. Из этого следует, что:

\[
\frac{{3}}{{-4}} = \frac{{m}}{{9}}
\]

Для решения этого уравнения, мы можем умножить числитель и знаменатель первой дроби на 9, чтобы избавиться от дробей:

\[
9 \times 3 = -4 \times m
\]

\[
27 = -4m
\]

Затем, делим обе стороны уравнения на -4, чтобы найти значение \( m \):

\[
m = -\frac{{27}}{{4}}
\]

Таким образом, чтобы векторы \( \mathbf{a}(3;-4) \) и \( \mathbf{b}(m;9) \) были параллельными, необходимо значение \( m \) равное \( -\frac{{27}}{{4}} \).

2) Чтобы векторы были перпендикулярны, необходимо, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю. Скалярное произведение двух векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) вычисляется следующим образом:

\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b
\]

где \( x_a \) и \( y_a \) - координаты вектора \( \mathbf{a} \), и \( x_b \) и \( y_b \) - координаты вектора \( \mathbf{b} \).

В данном случае, мы имеем:

\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 \cdot m + (-4) \cdot 9
\]

\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3m - 36
\]

Для того чтобы векторы были перпендикулярными, скалярное произведение должно быть равно нулю:

\[
3m - 36 = 0
\]

Теперь, решим это уравнение:

\[
3m = 36
\]

\[
m = \frac{{36}}{{3}}
\]

\[
m = 12
\]

Таким образом, чтобы векторы \( \mathbf{a}(3;-4) \) и \( \mathbf{b}(m;9) \) были перпендикулярными, значение \( m \) должно быть равным 12.

Итак, мы получили, что значение \( m \) должно быть равным \( -\frac{{27}}{{4}} \) для параллельности векторов и равным 12 для их перпендикулярности.