Какое значение m нужно выбрать, чтобы система уравнений {7x+my=5 и {28mx+y=10 а) не имела корней, б) имела бесконечное

Руслан

40

Для решения данной задачи, нам необходимо проанализировать систему уравнений и определить значения параметра m, при которых система имеет различное количество корней.

а) Пусть система не имеет корней. Это означает, что уравнения противоречат друг другу и не могут быть выполнены одновременно. Для этого случая мы можем использовать метод определителей.

Для начала, запишем систему уравнений в матричной форме:

\[
\begin{bmatrix}
7 & m \\
28m & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
5 \\
10 \\
\end{bmatrix}
\]

Теперь, вычислим определитель матрицы коэффициентов:

\[
\Delta = \begin{vmatrix} 7 & m \\ 28m & 1 \end{vmatrix} = 7 \cdot 1 - m \cdot 28m = 7 - 28m^2
\]

Поскольку система не имеет корней, то ее определитель должен быть равен нулю:

\[
7 - 28m^2 = 0
\]

Решим это уравнение относительно параметра m:

\[
28m^2 = 7
\]

\[
m^2 = \frac{7}{28}
\]

\[
m = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}
\]

Таким образом, система не имеет корней, когда \(m = \pm \frac{1}{2}\).

б) Пусть система имеет бесконечное множество корней. Чтобы система имела бесконечное множество корней, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы коэффициентов был равен нулю:

\[
7 - 28m^2 = 0
\]

Решив это уравнение, мы получим:

\[
m^2 = \frac{1}{4}
\]

\[
m = \pm \frac{1}{2}
\]

Таким образом, при \(m = \pm \frac{1}{2}\), система будет иметь бесконечное множество корней.

в) Пусть система имеет только один корень. Чтобы система имела только один корень, определитель матрицы коэффициентов должен быть ненулевым и система должна быть совместной и определенной. Значит,

\[
\Delta \neq 0
\]

\[
7 - 28m^2 \neq 0
\]

Решая это уравнение, мы можем найти значения параметра m для которых система имеет только один корень.

Таким образом, значения параметра \(m\), при которых система имеет различное количество корней:

а) \(m = \pm \frac{1}{2}\) - система не имеет корней.
б) \(m = \pm \frac{1}{2}\) - система имеет бесконечное множество корней.
в) \(m \neq \pm \frac{1}{2}\) - система имеет только один корень.