Какое значение параметра должно быть, чтобы решением неравенства ax^2 – 2(a – 1)x + a + 3 ≥ 0 была вся числовая прямая?

Радужный_День

8

Чтобы найти значение параметра \(a\), при котором решением неравенства \(ax^2 - 2(a - 1)x + a + 3 \geq 0\) будет вся числовая прямая, мы должны учитывать два факта.

1. Чтобы \(ax^2 - 2(a - 1)x + a + 3\) было неотрицательным на всей числовой прямой, дискриминант квадратного трехчлена должен быть меньше или равен нулю. Дискриминант определяется формулой \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\), и \(c\) - коэффициенты квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\). В нашем случае, у нас есть \(a = a\), \(b = -2(a - 1)\), и \(c = a + 3\).

2. Мы также должны учесть, что \(a\) не может принимать значения, при которых делитель a отличается от нуля, так как это привело бы к делению на ноль в знаменателе.

Теперь пошагово решим задачу:

Шаг 1: Рассчитаем дискриминант \(D\)
\[D = (-2(a - 1))^2 - 4a(a + 3)\]

Раскроем скобки:
\[D = 4(a^2 - 2a + 1) - 4a^2 - 12a = 4a^2 - 8a + 4 - 4a^2 - 12a\]

Упростим:
\[D = -20a + 4\]

Шаг 2: Зададим условие, что дискриминант меньше или равен нулю:
\[D \leq 0\]

Подставим выражение для \(D\):
\[-20a + 4 \leq 0\]

Шаг 3: Решим неравенство для \(a\):
\[a \geq \frac{4}{20} = \frac{1}{5}\]

Таким образом, значение параметра \(a\) должно быть больше или равно \(\frac{1}{5}\), чтобы решением неравенства \(ax^2 - 2(a - 1)x + a + 3 \geq 0\) была вся числовая прямая.

Теперь рассмотрим вторую часть задачи и найдем минимальное значение параметра \(a\).

Минимальное значение параметра \(a\) будет наименьшим значением, при котором \(ax^2 - 2(a - 1)x + a + 3 \geq 0\) имеет решение на всей числовой прямой.

Мы знаем, что при \(a \geq \frac{1}{5}\) неравенство будет выполняться на всей числовой прямой. Таким образом, минимальное значение параметра \(a\) равно \(\frac{1}{5}\).