Какое значение переменной k нужно определить, чтобы разность дробей 1/(k−8) и 5/(k+8) равнялась их произведению? Ответ

Fedor

66

Хорошо, давайте рассмотрим задачу о разности дробей.

Нам дано, что значение переменной \(k\) должно быть определено таким образом, чтобы разность дробей \(\frac{1}{{k-8}}\) и \(\frac{5}{{k+8}}\) равнялась их произведению.

Давайте выразим данное условие в виде уравнения и решим его.

Сначала найдем разность данных дробей:

\[
\frac{1}{{k-8}} - \frac{5}{{k+8}}
\]

Чтобы вычесть дроби, мы должны привести оба слагаемых к общему знаменателю, который будет равен \((k-8)(k+8)\).

После приведения к общему знаменателю, уравнение примет вид:

\[
\frac{{1 \cdot (k+8)}}{{(k-8)(k+8)}} - \frac{{5 \cdot (k-8)}}{{(k+8)(k-8)}}
\]

Сократим подобные слагаемые и приведем уравнение к общему знаменателю:

\[
\frac{{k+8}}{{k^2-64}} - \frac{{5k-40}}{{k^2-64}}
\]

Теперь вычтем одну дробь из другой:

\[
\frac{{k+8-5k+40}}{{k^2-64}}
\]

Упростим числитель:

\[
\frac{{-4k+48}}{{k^2-64}}
\]

Теперь полученную разность дробей приравняем к их произведению:

\[
-4k+48 = \frac{1}{{k-8}} \cdot \frac{5}{{k+8}}
\]

Выразим произведение дробей:

\[
-4k+48 = \frac{5}{{k+8}} \cdot \frac{1}{{k-8}}
\]

Умножим числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй:

\[
-4k+48 = \frac{{5 \cdot 1}}{{(k+8) \cdot (k-8)}}
\]

Сократим числитель и знаменатель:

\[
-4k+48 = \frac{5}{{k^2-64}}
\]

Теперь, чтобы решить это уравнение, приведем его к квадратному виду:

\[
-4k+48 - \frac{5}{{k^2-64}} = 0
\]

Умножим обе стороны на \((k^2-64)\):

\[
-4k \cdot (k^2-64) + 48 \cdot (k^2-64) - 5 = 0
\]

Распределим множители:

\[
-4k \cdot k^2 + 4k \cdot 64 + 48 \cdot k^2 - 48 \cdot 64 - 5 = 0
\]

Сгруппируем одинаковые степени переменной \(k\):

\[
(48 - 4k)k^2 - 5 - 48 \cdot 64 = 0
\]

Из этого уравнения мы видим, что у нас возникает квадратное уравнение. Приведем его к стандартной форме:

\[
(k^2(48 - 4k)) - (48 \cdot k^2) - (5 + 48 \cdot 64) = 0
\]

Раскроем скобки:

\[
48k^2 - 4k^3 - 48k^2 - 5 - 48 \cdot 64 = 0
\]

Упростим:

\[
-4k^3 - 48 \cdot 64 - 5 = 0
\]

Теперь решим кубическое уравнение \( -4k^3 - 48 \cdot 64 - 5 = 0 \) относительно переменной \(k\). Однако, это задача рассчитана на уровень старшей школы, и кубическое уравнение может быть сложным для решения вручную. Поэтому мы можем использовать калькулятор для нахождения приближенного значения \(k\), или использовать численные методы для решения. Если нужно, я могу продолжить, используя численные методы.