Какое значение x нужно найти, чтобы уравнение sin9x+sin8x+sin7x=0 было выполнено?

Orel

48

Хорошо, давайте решим данное уравнение:
\[ \sin(9x) + \sin(8x) + \sin(7x) = 0. \]

Для начала, рассмотрим сумму двух синусов. Мы знаем, что для двух углов \(a\) и \(b\) выполняется следующее тождество:
\[ \sin(a) + \sin(b) = 2 \sin\left(\frac{a+b}{2}\right) \cos\left(\frac{a-b}{2}\right). \]

Используем это тождество для первых двух слагаемых в нашем уравнении:
\[ \sin(9x) + \sin(8x) + \sin(7x) = 2 \sin\left(\frac{9x+8x}{2}\right) \cos\left(\frac{9x-8x}{2}\right) + \sin(7x) = 2 \sin\left(\frac{17x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right) + \sin(7x). \]

Теперь мы имеем следующее уравнение:
\[ 2 \sin\left(\frac{17x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right) + \sin(7x) = 0. \]

Для дальнейшего решения нам нужно воспользоваться свойством синуса:
\[ \sin(\alpha) = 0 \quad \iff \quad \alpha = k \pi, \]
где \( k \) - целое число.

Применим это свойство к нашему уравнению:
\[ 2 \sin\left(\frac{17x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right) + \sin(7x) = 0. \]
Таким образом, у нас есть два случая:

1. \(\sin(7x) = 0\): В этом случае \(7x = k \pi\) и \(x = \frac{k \pi}{7}\), где \(k\) - целое число.

2. \(\sin\left(\frac{17x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0\): В этом случае у нас два подслучая:

2.1 \(\sin\left(\frac{17x}{2}\right) = 0\): В этом случае \(\frac{17x}{2} = k \pi\) и \(x = \frac{2k \pi}{17}\), где \(k\) - целое число.

2.2 \(\cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0\): В этом случае \(\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k \pi\) и \(x = (2k + 1)\pi\), где \(k\) - целое число.

Таким образом, чтобы уравнение \(\sin(9x) + \sin(8x) + \sin(7x) = 0\) выполнялось, \(x\) должно принимать значения:
\[ x = \frac{k \pi}{7}, \frac{2k \pi}{17}, (2k + 1)\pi, \]
где \(k\) - целое число.