Какое значение x следует выбрать, чтобы наибольший общий делитель (НОД) чисел 160 и (x + 14) был равен 40 и x было

Zolotoy_Lord_4872

47

Чтобы найти значение \(x\), мы должны использовать определение наибольшего общего делителя (НОД). НОД - это наибольшее число, которое делит данное число и другое число без остатка. Дано, что НОД между 160 и \(x + 14\) равен 40.

Мы можем использовать метод Эвклида для нахождения НОДа. Применим этот метод к нашей задаче.

Шаг 1:
Найдем НОД между 160 и \(x + 14\). Обозначим его как \(d\).
\[d = \text{НОД}(160, x + 14).\]

Шаг 2:
Применим алгоритм Эвклида. Делим 160 на \(x + 14\) и записываем остаток.

\[160 = (x + 14) \cdot q_1 + r_1.\]

Шаг 3:
Теперь делим \(x + 14\) на остаток \(r_1\):

\[(x + 14) = r_1 \cdot q_2 + r_2.\]

Шаг 4:
Продолжаем делить последовательность чисел до тех пор, пока не получим нулевой остаток.

\[\vdots\]

Шаг \(k-1\):
\[r_{k-3} = r_{k-2} \cdot q_{k} + r_{k}.\]

Шаг \(k\):
\[r_{k-2} = r_{k} \cdot q_{k+1}.\]

Шаг \(k+1\):
\[r_{k-1} = r_{k} \cdot q_{k+2}.\]

В итоге мы получим \(\text{НОД}(160, x + 14) = r_k\).

Теперь учитывая, что НОД равен 40, мы можем записать:

\[40 = \text{НОД}(160, x + 14) = r_k.\]

Таким образом, чтобы получить наибольший общий делитель 40, мы должны выбрать значение \(x\), такое что остаток \(r\) равен 40. Последний остаток \(r_k\) в процессе деления будет 40.

Я надеюсь, что объяснение данной задачи поможет вам понять процесс нахождения значения \(x\), чтобы получить НОД 40.