Какое значение z удовлетворяет неравенству log22z> 4log2z−3?

Pizhon

10

Давайте решим данное неравенство шаг за шагом, чтобы найти значение \( z \), которое удовлетворяет ему.

Итак, данное неравенство выражает условие, что логарифм базы 2 от \( 2z \) больше, чем 4 раза логарифм базы 2 от \( z \), вычтенного из 3.

Давайте начнем с вычисления правой части неравенства:

\[ 4 \cdot \log_2{z} - 3 \]

Мы можем использовать свойства логарифмов, чтобы упростить это выражение. Применим свойство "логарифм разности":

\[ \log_2{\left(\frac{z^4}{2^3}\right)} \]

Дальше, мы знаем, что \( 2^3 = 8 \). Поэтому:

\[ \log_2{\left(\frac{z^4}{8}\right)} \]

Теперь мы можем применить свойство "логарифм произведения":

\[ \log_2{z^4} - \log_2{8} \]

Снова используем свойство логарифма базы 2 от \( 8 \), которое равно 3:

\[ \log_2{z^4} - 3 \]

Теперь у нас упростилась правая часть неравенства. Теперь давайте рассмотрим левую часть:

\[ \log_2{2 \cdot 2z} \]

Здесь мы можем использовать свойство логарифма произведения:

\[ \log_2{2} + \log_2{2z} \]

Записывая это в более простой форме, получим:

\[ 1 + \log_2{2z} \]

Теперь, сравнивая левую и правую части неравенства, получаем:

\[ 1 + \log_2{2z} > \log_2{z^4} - 3 \]

Мы хотим найти значение \( z \), которое удовлетворяет этому неравенству.

Для начала, давайте избавимся от логарифмов. Возведем обе части неравенства в степень 2:

\[ 2^{1 + \log_2{2z}} > 2^{\log_2{z^4} - 3} \]

Применяя свойства, мы получаем:

\[ 2 \cdot 2z > z^4 \cdot 2^{-3} \]

Теперь продолжим упрощать:

\[ 4z > \frac{1}{8} \cdot z^4 \]

\[ 32z > z^4 \]

Итак, мы получили квадратное неравенство. Чтобы его решить, давайте приведем его к виду \( z^4 - 32z < 0 \).

Мы знаем, что у квадратного неравенства есть так называемые "точки перегиба" при \( z = 0 \) и \( z = 32 \). Проверяем значения между ними и на краях:

\[ (−∞,0) \cup (0,32) \cup (32,+∞) \]

Исследуя неравенство в каждом из этих интервалов, мы видим, что значения \( z \), которые удовлетворяют неравенству, находятся в интервале \( (0, 32) \).

Таким образом, значение \( z \), удовлетворяющее данному неравенству, будет лежать в интервале \( (0, 32) \).

Надеюсь, это решение понятно и поможет вам с задачей! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.