Выберите все утверждения, которые верны для натуральных чисел a, b и c: 1. Если a⫶c и b⫶c, то (a+b)⫶c. 2. Если (a−b)⫶c

Дмитриевна

48

Давайте рассмотрим каждое утверждение поочередно и проверим, верно ли оно.

Утверждение 1: Если \(a \perp c\) и \(b \perp c\), то \((a+b) \perp c\).
Разложим это утверждение на составляющие: \(a\) взаимно просто с \(c\) и \(b\) взаимно просто с \(c\), то есть наибольший общий делитель у чисел \(a\) и \(c\) равен 1, и наибольший общий делитель у чисел \(b\) и \(c\) также равен 1. Нам нужно проверить, верно ли, что числа \(a+b\) и \(c\) также взаимно просты. Предположим, что это не так, то есть существует общий делитель \(d\) для \(a+b\) и \(c\), где \(d > 1\). Это означает, что \(a+b\) и \(c\) делятся на \(d\). Но если числа \(a\) и \(b\) также делятся на \(d\), то в сумме \(a+b\) есть общий сомножитель \(d\), что противоречит нашему изначальному предположению, что \(a\) и \(b\) взаимно просты. Таким образом, утверждение 1 верно.

Утверждение 2: Если \((a-b) \perp c\), то \(a \perp c\) и \(b \perp c\).
Похожим образом, предположим, что общий делитель \(d\) существует для разности \(a-b\) и \(c\), где \(d > 1\). Тогда \(a-b\) и \(c\) делятся на \(d\). Но это не может быть, поскольку если \(a-b\) делится на \(d\), то \(a = (a-b) + b\) также должно делиться на \(d\). Противоречие с предположением, что \(a\) и \(b\) взаимно просты. Таким образом, утверждение 2 также верно.

Утверждение 3: Если \((a-b) \perp c\) и \(a \perp c\), то \(b \perp c\).
Предположим, что \(a-b\) и \(c\) взаимно просты, а также \(a\) и \(c\) взаимно просты. Мы должны показать, что \(b\) и \(c\) также взаимно просты. Поскольку \(a = (a-b) + b\), то общий делитель \(d\) для \(a\) и \(c\) также является делителем для \((a-b) + b\), то есть \(d\) также делит \(b\). Это означает, что \(b\) и \(c\) делятся на \(d\), и значит, они не взаимно просты. Таким образом, утверждение 3 неверно.

Утверждение 4: Если \(a \perp c\), то \(ab \perp c\).
Предположим, что \(a\) и \(c\) взаимно просты. Нам нужно показать, что \(ab\) и \(c\) также взаимно просты. Предположим, что существует общий делитель \(d\) для \(ab\) и \(c\), где \(d > 1\). Тогда \(ab\) и \(c\) делятся на \(d\). Но поскольку \(a\) и \(c\) взаимно просты, то \(a\) не делится на \(d\). Однако, так как \(ab\) делится на \(d\), то \(b\) должно делиться на \(d\). Это означает, что и \(b\) и \(c\) делятся на \(d\), что противоречит предположению, что \(a\) и \(c\) взаимно просты. Таким образом, утверждение 4 верно.

Утверждение 5: Если \(ab \perp c\), то \(a \perp c\) и \(b \perp c\).
Похожим образом, предположим, что общий делитель \(d\) существует для \(ab\) и \(c\), где \(d > 1\). Тогда \(ab\) и \(c\) делятся на \(d\). Но это значит, что либо \(a\), либо \(b\) делится на \(d\), что противоречит предположению, что оба числа взаимно просты с \(c\). Таким образом, утверждение 5 неверно.

Утверждение 6: Если \(ab \perp c\), то \(ac \perp b\).
Аналогично предыдущему рассуждению, предположим, что общий делитель \(d\) существует для \(ab\) и \(c\), где \(d > 1\). Тогда \(ab\) и \(c\) делятся на \(d\). Следовательно, \(ac\) также должно делиться на \(d\). Это означает, что \(ac\) и \(b\) имеют общий делитель \(d\), что противоречит предположению, что \(ac\) и \(b\) взаимно просты. Таким образом, утверждение 6 неверно.

Итак, исходя из наших рассуждений, верными утверждениями из данного списка являются:
1. Если \(a \perp c\) и \(b \perp c\), то \((a+b) \perp c\).
2. Если \((a-b) \perp c\), то \(a \perp c\) и \(b \perp c\).
4. Если \(a \perp c\), то \(ab \perp c\).

Надеюсь, эти объяснения помогли вам лучше понять данные утверждения о натуральных числах. Если у вас возникнут ещё вопросы, не стесняйтесь задавать!