Какому промежутку x соответствуют наибольшие и наименьшие значения функции f(x)=x^2-2x-3? Найдите наибольшее

Вихрь

37

Для начала, давайте рассмотрим функцию \(f(x) = x^2 - 2x - 3\) и найдем наибольшее и наименьшее значения этой функции. Для этого необходимо найти вершину параболы, потому что наибольшее или наименьшее значение функции соответствует вершине параболы.

Функция \(f(x) = x^2 - 2x - 3\) имеет квадратичный вид, и для определения координат вершины мы можем использовать формулу \(x = -\frac{b}{2a}\), где \(a\) и \(b\) - коэффициенты в уравнении \(f(x)\). В данном случае, \(a=1\) и \(b=-2\).

Вычислим координату \(x\) вершины параболы:
\[x = -\frac{(-2)}{2(1)} = 1\]

Чтобы найти соответствующие значения функции, подставим \(x=1\) обратно в уравнение:
\[f(1) = 1^2 - 2\cdot1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4\]

Таким образом, наибольшее значение функции \(f(x) = x^2 - 2x - 3\) равно \(-4\), а наименьшее значение равно \(-4\), которым достигается в точке \(x=1\).

Чтобы найти интервалы, на которых функция возрастает или убывает, нам нужно проанализировать знак производной функции. Если производная положительна на некотором интервале, то функция возрастает на этом интервале, и если производная отрицательна, то функция убывает.

Вычислим производную функции \(f(x) = x^2 - 2x - 3\) и приравняем ее к нулю, чтобы найти точки экстремума:
\[f"(x) = 2x - 2\]
\[2x - 2 = 0\]
\[x = 1\]

Теперь оценим знак производной на разных интервалах:
- Когда \(x < 1\), подставим, например, \(x = 0\) в \(f"(x)\):
\[f"(0) = 2\cdot0 - 2 = -2\]
Знак отрицательный, следовательно, функция \(f(x)\) убывает на интервале \((-\infty, 1)\).

- Когда \(x > 1\), подставим, например, \(x = 2\) в \(f"(x)\):
\[f"(2) = 2\cdot2 - 2 = 2\]
Знак положительный, следовательно, функция \(f(x)\) возрастает на интервале \((1, +\infty)\).

- Когда \(x = 1\), производная равна нулю и не определяет характер изменения функции. Но мы уже знаем, что это точка экстремума и функция достигает минимума на этом значении.

Итак, функция \(f(x) = x^2 - 2x - 3\) убывает на промежутке \((-\infty, 1]\) и возрастает на промежутке \([1, +\infty)\). Промежуток возрастания функции - \([1, +\infty)\), а промежуток убывания - \((-\infty, 1]\).

Теперь давайте найдем область значений функции \(f(x) = x^2 - 2x - 3\). Область значений представляет все возможные значения функции на допустимом интервале значений \(x\).

Мы уже выяснили, что наибольшее значение функции равно \(-4\), а соответствующее значение \(x = 1\). Обратите внимание, что ветвь параболы открывается вверх, поэтому все значения функции будут больше или равны \(-4\).

Таким образом, область значений функции \(f(x) = x^2 - 2x - 3\) - это все значения, большие или равные \(-4\), то есть \([-4, +\infty)\).

Наконец, определим множество значений \(x\), удовлетворяющих неравенствам \(f(x) > 0\) и \(f(x) = 0\).

Для \(f(x) > 0\), нам нужно найти интервалы, на которых функция положительна. Уже известно, что функция возрастает на интервале \([1, +\infty)\). Если мы возьмем любое значение \(x\) из этого интервала, соответствующее значение функции \(f(x)\) также будет положительным.

Решим неравенство \(f(x) = 0\):
\[x^2 - 2x - 3 = 0\]

Для решения квадратного уравнения, нам нужно найти корни. Можем использовать формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\) и затем применить формулу корней:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

В данном случае \(a = 1\), \(b = -2\), и \(c = -3\).

Вычислим дискриминант:
\[D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16\]

Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных действительных корня.

Применяя формулу корней, получим:
\[x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2(1)}\]
\[x = \frac{2 \pm 4}{2}\]

Таким образом, получаем два корня: \(x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3\) и \(x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1\).

То есть, множество значений \(x\), удовлетворяющих неравенству \(f(x) = 0\, \text{или}\, f(x) > 0\), будет \([-1, 3]\).

В результате:
- Наибольшее значение функции \(f(x) = x^2 - 2x - 3\) равно \(-4\), достигается при \(x = 1\), а наименьшее значение также равно \(-4\).
- Интервалы возрастания и убывания функции \(f(x)\) - \([1, +\infty)\) и \((-\infty, 1]\) соответственно.
- Область значений функции \(f(x)\) - \([-4, +\infty)\).
- Множество значений \(x\), удовлетворяющих неравенству \(f(x) = 0\) или \(f(x) > 0\), равно \([-1, 3]\).