Какому промежутку x соответствуют наибольшие и наименьшие значения функции f(x)=x^2-2x-3? Найдите наибольшее

Вихрь

37

Для начала, давайте рассмотрим функцию $f(x)=x^2-2x-3$ и найдем наибольшее и наименьшее значения этой функции. Для этого необходимо найти вершину параболы, потому что наибольшее или наименьшее значение функции соответствует вершине параболы.

Функция $f(x)=x^2-2x-3$ имеет квадратичный вид, и для определения координат вершины мы можем использовать формулу $x=-\frac{b}{2a}$, где $a$ и $b$ - коэффициенты в уравнении $f(x)$. В данном случае, $a=1$ и $b=-2$.

Вычислим координату $x$ вершины параболы:
$$x=-\frac{(-2)}{2(1)}=1$$

Чтобы найти соответствующие значения функции, подставим $x=1$ обратно в уравнение:
$$f(1)=1^2-2\cdot 1-3=1-2-3=-4$$

Таким образом, наибольшее значение функции $f(x)=x^2-2x-3$ равно $-4$, а наименьшее значение равно $-4$, которым достигается в точке $x=1$.

Чтобы найти интервалы, на которых функция возрастает или убывает, нам нужно проанализировать знак производной функции. Если производная положительна на некотором интервале, то функция возрастает на этом интервале, и если производная отрицательна, то функция убывает.

Вычислим производную функции $f(x)=x^2-2x-3$ и приравняем ее к нулю, чтобы найти точки экстремума:
$$f"(x)=2x-2$$
$$2x-2=0$$
$$x=1$$

Теперь оценим знак производной на разных интервалах:
- Когда $x<1$, подставим, например, $x=0$ в $f"(x)$:
$$f"(0)=2\cdot 0-2=-2$$
Знак отрицательный, следовательно, функция $f(x)$ убывает на интервале $(-\mathrm{\infty },1)$.

- Когда $x>1$, подставим, например, $x=2$ в $f"(x)$:
$$f"(2)=2\cdot 2-2=2$$
Знак положительный, следовательно, функция $f(x)$ возрастает на интервале $(1,+\mathrm{\infty })$.

- Когда $x=1$, производная равна нулю и не определяет характер изменения функции. Но мы уже знаем, что это точка экстремума и функция достигает минимума на этом значении.

Итак, функция $f(x)=x^2-2x-3$ убывает на промежутке $(-\mathrm{\infty },1]$ и возрастает на промежутке $[1,+\mathrm{\infty })$. Промежуток возрастания функции - $[1,+\mathrm{\infty })$, а промежуток убывания - $(-\mathrm{\infty },1]$.

Теперь давайте найдем область значений функции $f(x)=x^2-2x-3$. Область значений представляет все возможные значения функции на допустимом интервале значений $x$.

Мы уже выяснили, что наибольшее значение функции равно $-4$, а соответствующее значение $x=1$. Обратите внимание, что ветвь параболы открывается вверх, поэтому все значения функции будут больше или равны $-4$.

Таким образом, область значений функции $f(x)=x^2-2x-3$ - это все значения, большие или равные $-4$, то есть $[-4,+\mathrm{\infty })$.

Наконец, определим множество значений $x$, удовлетворяющих неравенствам $f(x)>0$ и $f(x)=0$.

Для $f(x)>0$, нам нужно найти интервалы, на которых функция положительна. Уже известно, что функция возрастает на интервале $[1,+\mathrm{\infty })$. Если мы возьмем любое значение $x$ из этого интервала, соответствующее значение функции $f(x)$ также будет положительным.

Решим неравенство $f(x)=0$:
$$x^2-2x-3=0$$

Для решения квадратного уравнения, нам нужно найти корни. Можем использовать формулу дискриминанта $D=b^2-4ac$ и затем применить формулу корней:
$$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$

В данном случае $a=1$, $b=-2$, и $c=-3$.

Вычислим дискриминант:
$$D=(-2{)}^2-4(1)(-3)=4+12=16$$

Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных действительных корня.

Применяя формулу корней, получим:
$$x=\frac{-(-2)\pm \sqrt{16}}{2(1)}$$
$$x=\frac{2\pm 4}{2}$$

Таким образом, получаем два корня: $x_1=\frac{2+4}{2}=3$ и $x_2=\frac{2-4}{2}=-1$.

То есть, множество значений $x$, удовлетворяющих неравенству $f(x)=0\text{или}f(x)>0$, будет $[-1,3]$.

В результате:
- Наибольшее значение функции $f(x)=x^2-2x-3$ равно $-4$, достигается при $x=1$, а наименьшее значение также равно $-4$.
- Интервалы возрастания и убывания функции $f(x)$ - $[1,+\mathrm{\infty })$ и $(-\mathrm{\infty },1]$ соответственно.
- Область значений функции $f(x)$ - $[-4,+\mathrm{\infty })$.
- Множество значений $x$, удовлетворяющих неравенству $f(x)=0$ или $f(x)>0$, равно $[-1,3]$.