Каков будет масштаб изменения высоты ступеньки, если угол наклона лестницы уменьшить в два раза?

Pushistyy_Drakonchik_165

27

Чтобы найти масштаб изменения высоты ступеньки при уменьшении угла наклона лестницы в два раза, нам понадобится использовать геометрические соотношения.

Допустим, изначально угол наклона лестницы составляет \( \theta \) градусов. Пусть высота каждой ступеньки обозначается как \( h \).

Сначала нужно понять, как связаны угол наклона и высота ступеньки. Из тригонометрии известно, что в прямоугольном треугольнике, у которого один угол равен \( \theta \), соотношение между высотой и горизонтальным отступом (шагом) \( d \) выражается следующим образом:

\(\tan(\theta) = \frac{h}{d}\)

Теперь мы можем найти масштаб изменения высоты ступеньки, деля текущую высоту \( h \) на новую высоту \( h" \):

\(\frac{h}{h"} = \frac{d}{d"}\)

По условию задачи, угол наклона лестницы уменьшился в два раза, что означает, что новый угол наклона составляет \( \frac{\theta}{2} \) градусов. Воспользуемся этой информацией для нахождения нового горизонтального отступа \( d" \).

Используя свойство тангенса, получаем:

\(\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{h"}{d"}\)

Теперь мы можем заменить выражение для высоты ступеньки в предыдущем уравнении и решить относительно масштаба:

\(\frac{h}{h"} = \frac{d}{d"} = \frac{\tan(\theta)}{\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)}\)

Таким образом, масштаб изменения высоты ступеньки при уменьшении угла наклона лестницы в два раза будет равен отношению тангенса изначального угла к тангенсу половины этого угла:

\(\frac{h}{h"} = \frac{\tan(\theta)}{\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)}\)

Это соотношение позволит нам определить, насколько изменится высота ступеньки при уменьшении угла наклона лестницы в два раза.