Каков будет результат изменения матрицы перехода между базисами при перестановке двух векторов в первом базисе?

Puteshestvennik_Vo_Vremeni

56

Когда мы говорим о матрице перехода между базисами, мы предполагаем, что у нас есть два базиса пространства (обычно это векторные пространства) и мы хотим узнать, как можно представить векторы из одного базиса в терминах другого базиса.

Предположим, что у нас есть два базиса \(B = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\}\) и \(B" = \{w_1, w_2, \ldots, w_n\}\), где каждый из этих базисов состоит из \(n\) векторов. Матрица перехода между этими двумя базисами обычно обозначается как \(P\), и она имеет размерность \(n \times n\).

Теперь, когда мы переставляем два вектора первого базиса, скажем \(v_i\) и \(v_j\), это влияет на матрицу перехода \(P\). Давайте посмотрим, какие изменения происходят.

Пусть новая матрица перехода после перестановки будет обозначена как \(P"\). Чтобы понять, какие изменения произошли, рассмотрим, как каждый вектор нового базиса \(B"\) выражается в терминах базиса \(B\).

Выражение вектора \(w_i\) в базисе \(B\) может быть записано так:

\[w_i = a_{1i}v_1 + a_{2i}v_2 + \ldots + a_{ni}v_n\]

где \(a_{1i}, a_{2i}, \ldots, a_{ni}\) - коэффициенты такого представления.

Аналогично, для вектора \(w_j\) имеем:

\[w_j = a_{1j}v_1 + a_{2j}v_2 + \ldots + a_{nj}v_n\]

После перестановки векторов в базисе \(B\) получаем новую матрицу перехода \(P"\). Важно отметить, что при перестановке меняются только \(i\)-й и \(j\)-й столбцы в матрице \(P"\). Все остальные столбцы остаются неизменными.

Теперь, чтобы найти новое представление векторов нового базиса в терминах базиса \(B\), мы должны рассмотреть новые коэффициенты \(a"_{ki}\) и \(a"_{kj}\).

Новое представление вектора \(w_i\) в базисе \(B\) выглядит следующим образом:

\[w_i = \sum_{k=1}^{n} a"_{ki}v_k\]

Аналогично, для вектора \(w_j\) имеем:

\[w_j = \sum_{k=1}^{n} a"_{kj}v_k\]

Таким образом, можно сказать, что изменение матрицы перехода \(P\) после перестановки двух векторов первого базиса состоит в замене соответствующих столбцов в матрице \(P\) на новые столбцы с коэффициентами \(a"_{1i}, a"_{2i}, \ldots, a"_{ni}\) и \(a"_{1j}, a"_{2j}, \ldots, a"_{nj}\) соответственно.

Надеюсь, это объяснение понятно и помогает вам понять, как изменяется матрица перехода при перестановке двух векторов в первом базисе.