Каков характер точек экстремума функции y=2–√x−2cosx при x∈[−π2;π]? Укажите значения в градусах

Милана_5159

27

Чтобы найти характер точек экстремума функции \(y=2-\sqrt{x}-2\cos{x}\) на интервале \(x\in[-\frac{\pi}{2},\pi]\), нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдите первую производную функции \(y\) по \(x\). Для этого возьмите производные каждого слагаемого по отдельности и сложите их:
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2-\sqrt{x}-2\cos{x}) = \frac{d}{dx}2 - \frac{d}{dx}\sqrt{x} - \frac{d}{dx}2\cos{x}
\]

Шаг 2: Вычислите каждую производную по отдельности. Нам понадобится использовать правило дифференцирования для каждого слагаемого:

Для константы \(2\) производная равна нулю: \(\frac{d}{dx}2 = 0\).

Для слагаемого \(-\sqrt{x}\) нужно применить правило дифференцирования для функций вида \(\sqrt{x}\). Производная \(\sqrt{x}\) равна \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\), поэтому:
\[
\frac{d}{dx}\sqrt{x} = \frac{d}{dx}(x^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}
\]

Для слагаемого \(-2\cos{x}\) нужно применить правило дифференцирования для тригонометрических функций. Производная \(\cos{x}\) равна \(-\sin{x}\), поэтому:
\[
\frac{d}{dx}(-2\cos{x}) = -2\frac{d}{dx}\cos{x} = -2(-\sin{x}) = 2\sin{x}
\]

Шаг 3: Сложите все полученные производные и упростите выражение:
\[
\frac{dy}{dx} = 0 + \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2\sin{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2\sin{x}
\]

Шаг 4: Найдите критические точки, приравняв производную к нулю:
\[
\frac{1}{2\sqrt{x}} + 2\sin{x} = 0
\]

Шаг 5: Решите полученное уравнение для \(x\). Для этого приведем его к виду, удобному для решения:
\[
\frac{1}{2\sqrt{x}} = -2\sin{x}
\]

Шаг 6: Уберите знаменатель, умножив обе части уравнения на \(2\sqrt{x}\):
\[
1 = -4\sqrt{x}\sin{x}
\]

Шаг 7: Возведите обе части уравнения в квадрат:
\[
1 = 16x\sin^2{x}
\]

Шаг 8: Разрешите уравнение относительно \(x\):
\[
\sin^2{x} = \frac{1}{16x}
\]

Шаг 9: Применим замечательную тригонометрическую формулу \(\sin^2{x} + \cos^2{x} = 1\), чтобы выразить \(\cos^2{x}\):
\[
\cos^2{x} = 1 - \sin^2{x} = 1 - \frac{1}{16x}
\]

Шаг 10: Запишем допустимые значения \(\sin{x}\) и \(\cos{x}\) на интервале \(x\in[-\frac{\pi}{2},\pi]\). Так как \(\sin{x}\) и \(\cos{x}\) принимают значения от \(-1\) до \(1\), косинус является монотонно убывающей функцией на этом интервале, а синус является монотонно возрастающей функцией, то мы можем записать:
\[
-1 \leq \sin{x} \leq 1
\]
\[
1 \geq \cos{x} \geq -1
\]

Шаг 11: Используя полученные ограничения на \(\sin{x}\) и \(\cos{x}\), найдем ограничения на \(\cos^2{x}\):
\[
1 - \frac{1}{16x} \leq \cos^2{x} \leq 1
\]

Шаг 12: Вспомним, что \(\cos^2{x}\) - это квадрат от \(y\). Тогда получим:
\[
1 - \frac{1}{16x} \leq y \leq 1
\]

Шаг 13: Вывод: значение функции \(y\) на интервале \(x\in[-\frac{\pi}{2},\pi]\) находится между \(1 - \frac{1}{16x}\) и \(1\). Учитывая ограничения, полученные нашими расчетами, ответом будет:
\[
1 - \frac{1}{16\pi} \leq y \leq 1
\]

Таким образом, характер точек экстремума функции \(y=2-\sqrt{x}-2\cos{x}\) на интервале \(x\in[-\frac{\pi}{2},\pi]\) можно описать как \(y\) находится между \(1 - \frac{1}{16\pi}\) и \(1\) в градусах.