Каков косинус острого угла между прямыми ac и bd, если заданы координаты точек a(-1; 0), b(5; -2), c(2; 3), d(3; -4)?

Снежинка

46

Для нахождения косинуса острого угла между прямыми ac и bd, мы можем использовать формулу косинуса угла между двумя векторами.

Для начала, нам нужно найти векторы ac и bd. Для этого мы вычитаем координаты начальной точки из координат конечной точки каждой прямой.

Вектор ac можно найти, вычислив разность координат конечной точки c и начальной точки a:

\[
\overrightarrow{ac} = \begin{pmatrix} 2-(-1) \\ 3-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}
\]

Аналогично, вектор bd можно найти, вычислив разность координат конечной точки d и начальной точки b:

\[
\overrightarrow{bd} = \begin{pmatrix} 3-5 \\ -4-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \end{pmatrix}
\]

Теперь, чтобы найти косинус угла между двумя векторами, мы используем формулу:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\overrightarrow{ac} \cdot \overrightarrow{bd}}}{{\|\overrightarrow{ac}\| \cdot \|\overrightarrow{bd}\|}}
\]

где \(\cdot\) обозначает скалярное произведение векторов, а \(\|\overrightarrow{ac}\|\) и \(\|\overrightarrow{bd}\|\) обозначают длины векторов ac и bd соответственно.

Давайте вычислим значения и подставим их в формулу:

\(\overrightarrow{ac} \cdot \overrightarrow{bd} = (3 \cdot -2) + (3 \cdot -2) = -6 - 6 = -12\)

\(\|\overrightarrow{ac}\| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)

\(\|\overrightarrow{bd}\| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)

Теперь мы можем подставить эти значения в формулу:

\[
\cos(\theta) = \frac{{-12}}{{3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}}} = \frac{{-12}}{{12}} = -1
\]

Таким образом, косинус острого угла между прямыми ac и bd равен -1.