Каков КПД цикла с изображением на рисунке, где рабочим телом является идеальный одноатомный газ, если давление

Диана

9

Чтобы решить эту задачу, давайте воспользуемся первым началом термодинамики, которое утверждает, что изменение внутренней энергии системы равно сумме работы, совершенной над системой, и количества тепла, переданного системе.

КПД (коэффициент полезного действия) цикла определяется как отношение работы, совершенной циклом, к теплоте, полученной системой в процессе работы. Математически это можно записать как:

\[\text{КПД} = \frac{\text{работа}}{\text{тепло}}\]

У нас есть рисунок, который изображает цикл, и мы знаем, что рабочим телом является идеальный одноатомный газ.

По условию задачи, давление во втором состоянии равно удвоенному давлению в первом состоянии (\(P_2 = 2P_1\)), а объем во втором состоянии вчетверо больше объема в первом состоянии (\(V_2 = 4V_1\)).

Для начала, давайте найдем изменение внутренней энергии газа в цикле. По определению, изменение внутренней энергии равно работе, совершенной газом во время цикла, так как мы исключаем теплообмен. Запишем это математически:

\(\Delta U = Q - W\)

Так как газ является идеальным одноатомным газом, у нас есть соотношение, связывающее изменение внутренней энергии, тепло и работу:

\(\Delta U = \frac{3}{2} n R \Delta T\)

где \(n\) - количество молей газа, \(R\) - универсальная газовая постоянная, \(\Delta T\) - изменение температуры.

Давайте использовать второе начало термодинамики, чтобы найти \(Q\) и \(W\) для каждого из состояний нашего цикла:

1. Состояние 1: Давление \(P_1\), объем \(V_1\).
Мы не знаем конкретные значения \(P_1\) и \(V_1\), поэтому давайте обозначим их как общие переменные.
В этом случае, изменение температуры (\(\Delta T\)) равно 0, так как газ не получает никакого тепла и не совершает работы.

Тогда по второму началу термодинамики:

\(Q_1 = 0\) (так как не было передано тепло)
\(W_1 = 0\) (так как не было выполнено работы)
\(\Delta U_1 = 0\) (так как \(\Delta T = 0\))

2. Состояние 2: Давление \(P_2 = 2P_1\), объем \(V_2 = 4V_1\).
В этом случае, мы можем найти изменение температуры (\(\Delta T\)) по формуле идеального газа, связывающей давление, объем и температуру:

\(P_1V_1 = P_2V_2\) (используя уравнение состояния идеального газа)
\(P_1V_1 = 2P_1 \cdot 4V_1\) (подставляем значения \(P_2\) и \(V_2\))
\(P_1V_1 = 8P_1V_1\) (упрощаем)
\(8P_1V_1 - P_1V_1 = 0\)
\(7P_1V_1 = 0\)
\(V_1 = \frac{1}{7}V_1\) (делаем перестановку)
\(V_1 = \frac{1}{7}\) (сокращаем \(V_1\) с обеих сторон)

Теперь, используя изменение объема, мы можем найти \(\Delta T\):

\(\frac{\Delta V}{V_1} = \frac{\Delta T}{T_1}\)
\(\frac{4V_1 - V_1}{V_1} = \frac{\Delta T}{T_1}\)
\(\frac{3V_1}{V_1} = \frac{\Delta T}{T_1}\)
\(\Delta T = 3T_1\) (переставляем исходное уравнение)

Теперь мы можем найти изменение внутренней энергии (\(\Delta U_2\)):

\(\Delta U_2 = \frac{3}{2} n R \Delta T\)
Поскольку это изменение внутренней энергии газа, мы можем сказать, что она равна работе, совершенной газом, так как \(\Delta T\) не равна нулю:
\(\Delta U_2 = W_2\)

Таким образом, \(W_2 = \frac{3}{2} n R \Delta T = \frac{3}{2} n R (3T_1) = \frac{9}{2} n R T_1\)

3. Цикл заканчивается в состоянии 1, поэтому возвращаемся к исходному состоянию, которое мы обозначили как состояние 3.
Как и в состоянии 1, в этом состоянии \(\Delta T = 0\), так как тепло не передается и работа не совершается.

Таким образом, мы можем сказать, что:
\(Q_3 = 0\) (так как не было передано тепло)
\(W_3 = 0\) (так как не было выполнено работы)
\(\Delta U_3 = 0\) (так как \(\Delta T = 0\))

Теперь мы можем найти работу, совершенную циклом, суммируя работу в каждом состоянии:

\(W_{\text{цикла}} = W_1 + W_2 + W_3 = 0 + \frac{9}{2} n R T_1 + 0\)

Теперь нам нужно найти количество теплоты, которую получает система в процессе работы цикла. Поскольку цикл является замкнутым процессом, количество теплоты, переданное системе в одном процессе, равно количеству теплоты, отданному системой в другом процессе. Поскольку в нашем случае нет передачи тепла в состояниях 1 и 3, мы можем сказать, что:

\(Q_{\text{цикла}} = Q_2\) (количество теплоты, полученное системой во время процесса 2)

Поскольку мы не знаем точные значения давления и объема, мы не можем найти количество теплоты напрямую. Однако мы можем использовать закон Бойля-Мариотта для идеального газа, который говорит о том, что для идеального газа давление и объем обратно пропорциональны, если температура постоянна:

\(P_1V_1 = P_2V_2\)
\(P_1 \cdot V_1 = 2P_1 \cdot 4V_1\)
\(2P_1V_1 = 8P_1V_1\)
\(8P_1V_1 - 2P_1V_1 = 0\)
\(6P_1V_1 = 0\)
\(V_1 = \frac{1}{6}\) (сокращаем \(P_1V_1\) с обеих сторон)

Мы можем использовать это значение, чтобы найти отношение объемов:

\(\frac{V_2}{V_1} = \frac{4V_1}{V_1} = 4\) (подставляем значение \(V_1\))

Теперь мы можем найти отношение давлений:

\(\frac{P_2}{P_1} = \frac{2P_1}{P_1} = 2\) (подставляем значение \(P_1\))

Теперь, используя отношение объемов и давлений, мы можем найти соотношение количеств теплоты:

\(\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{T_2}{T_1}\) (используя закон Гей-Люссака для идеального газа)

Так как \(P_2 = 2P_1\) и \(V_2 = 4V_1\), мы можем составить следующее выражение:

\(\frac{2P_1 \cdot 4V_1}{P_1 \cdot V_1} = \frac{T_2}{T_1}\)

\(\frac{8P_1V_1}{P_1V_1} = \frac{T_2}{T_1}\)

\(8 = \frac{T_2}{T_1}\)

Теперь мы знаем, что соотношение температур (\(\frac{T_2}{T_1}\)) равно 8.

Поскольку работа в цикле равна изменению внутренней энергии (\(\Delta U_2\)), мы можем сказать, что:

\(W_{\text{цикла}} = \Delta U_2 = \frac{9}{2} n R T_1\)

Теперь мы можем найти КПД цикла. КПД определяется как отношение работы к теплу:

\(\text{КПД} = \frac{W_{\text{цикла}}}{Q_{\text{цикла}}}\)

Подставим значения:

\(\text{КПД} = \frac{\frac{9}{2} n R T_1}{Q_2}\)

Так как \(\frac{T_2}{T_1} = 8\), мы можем записать это как:

\(\text{КПД} = \frac{\frac{9}{2} n R T_1}{Q_2} = \frac{\frac{9}{2} n R T_1}{8Q_1}\) (подставляем значение \(\frac{Q_2}{Q_1}\))

Теперь у нас есть окончательное выражение для КПД цикла с учетом данного сценария.