Каков квадрат произведения диагоналей параллелограмма со сторонами 3 см и 9 см, а угол между ними равен 120°?

Анатолий

35

Чтобы найти квадрат произведения диагоналей параллелограмма, нам понадобится использовать свойства параллелограммов и тригонометрии. Давайте начнем с рисунка:

\[
\begin{array}{cccc}
& & A & \\
& & & \uparrow \\
& & & \textrm{3 см} \\
& & & \downarrow \\
O & ------------------------------ & B \\
& & & \downarrow \\
& & & \textrm{9 см} \\
& & & \uparrow \\
& & D & \\
\end{array}
\]

Здесь мы имеем параллелограмм ABCD, где AB и CD - стороны параллелограмма, а AC и BD - диагонали. У нас также есть информация, что угол между диагоналями равен 120°.

Для начала, давайте найдем длины диагоналей, используя теорему косинусов. В параллелограмме, где стороны обозначаются как a и b, а угол между диагоналями обозначается как \( \theta \), диагонали могут быть выражены в виде:

\[
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{\theta}
\]

и

\[
BD^2 = AB^2 + BC^2 + 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{\theta}
\]

Подставляя известные значения, мы получаем:

\[
AC^2 = 3^2 + 9^2 - 2 \cdot 3 \cdot 9 \cdot \cos{120°}
\]

и

\[
BD^2 = 3^2 + 9^2 + 2 \cdot 3 \cdot 9 \cdot \cos{120°}
\]

Теперь нам нужно найти квадрат произведения этих диагоналей, то есть вычислить \(AC \cdot BD\), а затем возвести данный результат в квадрат:

\[
(AC \cdot BD)^2
\]

Следуя этим шагам, мы получаем:

\[
(AC \cdot BD)^2 = \left( \sqrt{AC^2} \cdot \sqrt{BD^2} \right)^2
\]

Таким образом, ответ на задачу "квадрат произведения диагоналей параллелограмма" равен \((AC \cdot BD)^2\). Подставляя выражения для AC и BD, упростим ответ:

\[
(AC \cdot BD)^2 = \left( \sqrt{3^2 + 9^2 - 2 \cdot 3 \cdot 9 \cdot \cos{120°}} \right) \cdot \left( \sqrt{3^2 + 9^2 + 2 \cdot 3 \cdot 9 \cdot \cos{120°}} \right)^2
\]

Выполняя все необходимые вычисления, мы получаем окончательный ответ на задачу.