Каков модуль вектора |BC–DA+AD–CD| для ромба ABCD с диагоналями равными 10

Tatyana_6610

69

Для начала распишем выражение \(|BC-DA+AD-CD|\) более подробно, используя операции над векторами:

\(BC\) представляет разность векторов \(B\) и \(C\),
\(DA\) представляет разность векторов \(D\) и \(A\),
\(AD\) представляет разность векторов \(A\) и \(D\),
\(CD\) представляет разность векторов \(C\) и \(D\).

Теперь найдем координаты вершин ромба ABCD. Пусть \(A\) имеет координаты \((0,0)\). Также известно, что диагонали ромба равны 10, значит \(AC=10\) и \(BD=10\).

Так как ромб ABCD является ромбом, то векторы \(\vec{AC}\) и \(\vec{BD}\) равны по модулю и направлению, но имеют противоположное направление. Мы можем найти координаты точки \(C\) с помощью вектора \(\vec{AC}\) и координаты точки \(B\) с помощью вектора \(\vec{BD}\).

Пусть координаты точки \(C\) равны \((a, b)\), где \(a\) и \(b\) - неизвестные значения, и используем симметрию ромба для определения координат точки \(B\) как \((-a, -b)\).

Таким образом, векторы \(\vec{AC}\) и \(\vec{BD}\) могут быть записаны следующим образом:

\(\vec{AC} = (a-0, b-0) = (a, b)\)
\(\vec{BD} = (-a - 0, -b - 0) = (-a, -b)\)

Теперь мы можем выразить векторы \(BC\), \(DA\), \(AD\) и \(CD\) с использованием найденных координат:

\(BC = \vec{B} - \vec{C} = (-a, -b) - (a, b) = (-2a, -2b)\)
\(DA = \vec{D} - \vec{A} = (0, 0) - (-a, -b) = (a, b)\)
\(AD = \vec{A} - \vec{D} = (0, 0) - (a, b) = (-a, -b)\)
\(CD = \vec{C} - \vec{D} = (a, b) - (0, 0) = (a, b)\)

Теперь заменим значения в выражении \(|BC-DA+AD-CD|\):

\(|BC-DA+AD-CD| = |-2a - a - a + a|\)

Складывая выражение в модуле получаем:

\(-2a - a - a + a = -3a\)

Применяя модуль к полученному результату:

\(|-3a| = |-3| \cdot |a| = 3 \cdot |a|\)

Так как \(a\) является переменной, мы не можем определить конкретное значение модуля вектора. Однако одним из выводов может быть то, что модуль вектора \(|BC-DA+AD-CD|\) равен \(3 \cdot |a|\) и зависит от значения \(a\).