Каков объем цилиндра, вписанного в прямую призму со стороной 5 и боковыми ребрами длиной 4/п?

Арина

19

Для решения данной задачи нам потребуется использовать множество геометрических понятий и формул. Давайте рассмотрим каждый шаг по порядку.

1. Определение и понимание данных в задаче:
В задаче у нас есть прямая призма со стороной, равной 5, и боковыми ребрами, длинами которых мы обозначим как 4/п (4/π).

2. Разбор задачи:
В прямоугольной призме у нас есть 2 основания, которые являются прямоугольниками, и боковые грани, которые являются прямоугольными параллелограммами.

Мы хотим найти объем цилиндра, вписанного в эту призму. Для начала нужно выяснить, каким образом цилиндр вписывается во внутреннее пространство призмы. Затем мы можем приступить к расчетам.

3. Локализация цилиндра и вычисление его радиуса:
Чтобы вписать цилиндр в призму, образуемый параллельно плоскостями основания, центральная ось цилиндра должна совпадать с осью симметрии призмы.

Поскольку четырехугольник с боковой длиной 4/п (4/π) является прямоугольным параллелограммом, его диагональ будет служить в качестве диаметра будущего цилиндра.

Найдем диагональ прямоугольного параллелограмма. Согласно теореме Пифагора, положив катеты равными 4/п (4/π) и 5, получим:

\[диагональ^2 = (4/п)^2 + 5^2\]
\[диагональ^2 = 16/п^2 + 25\]
\[диагональ^2 = (16 + 25п^2)/п^2\]

Таким образом, диагональ прямоугольного параллелограмма равна \(\sqrt{(16 + 25п^2)}/п\). Разделив эту величину на 2, мы найдем радиус цилиндра.

Радиус цилиндра:
\[радиус = \frac{\sqrt{(16 + 25п^2)}}{2п}\]

4. Вычисление объема цилиндра:
Объем цилиндра рассчитывается по формуле: \(объем = \pi * радиус^2 * высота\).

В нашем случае, высотой цилиндра будет являться высота призмы, равная 5. Таким образом, объем цилиндра равен:

\[объем = \pi * (\frac{\sqrt{(16 + 25п^2)}}{2п})^2 * 5\]

Теперь мы можем просто упростить выражение и найти численное значение объема.

На этом этапе приведем формулу в более конкретной форме:

\[объем = \frac{\pi(16 + 25п^2)}{4п^2} * 5\]

Далее раскроем скобки и сократим дробь:

\[объем = \frac{5\pi(16 + 25п^2)}{4п^2}\]

Мы получили выражение для объема цилиндра, вписанного в прямую призму с заданными размерами.

5. Окончательный ответ:
Таким образом, объем цилиндра, вписанного в прямую призму со стороной 5 и боковыми ребрами длиной 4/п, равен \(\frac{5\pi(16 + 25п^2)}{4п^2}\) (приближенно).