Каков объем усеченной пирамиды с равными сторонами оснований 6 см и 12 см, и с острым углом боковой грани равным

Skvoz_Les

64

Для нахождения объема усеченной пирамиды сначала нужно найти высоту этой пирамиды. Затем, используя формулу для объема пирамиды, мы сможем рассчитать результат.

Шаг 1: Найдем высоту пирамиды.
Для начала заметим, что даны равные стороны оснований пирамиды: 6 см и 12 см. Также, у нас есть угол между боковой гранью и основанием, который равен 45 градусам.

Для нахождения высоты, мы можем использовать триангуляцию - то есть разделить усеченную пирамиду на две треугольные пирамиды с известными сторонами, углами и высотой.

Для каждой из треугольных пирамид мы можем использовать теорему синусов. Зная один угол треугольника и соответствующую ему сторону, мы сможем найти соответствующую высоту.

Вначале рассмотрим треугольник с основанием 6 см. Для этого треугольника у нас есть угол в 45 градусов и соответствующая этому углу сторона, которая равна половине от стороны основания, то есть 3 см.

Используя теорему синусов, мы можем записать следующее соотношение:

\[\frac{h}{3} = \frac{\sin(45)}{6}\]

Подставим значения и решим это уравнение:

\[\frac{h}{3} = \frac{\sqrt{2}/2}{6}\]
\[h = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3}{6}\]
\[h = \frac{\sqrt{2}}{4}\]

Теперь у нас есть высота для этого треугольника. Давайте продолжим вычисления для второго треугольника.

Рассмотрим треугольник с основанием 12 см. У нас также имеется угол в 45 градусов и соответствующая ему сторона, которая равна половине от стороны основания, то есть 6 см.

Аналогично, используя теорему синусов, мы можем записать следующее соотношение:

\[\frac{h}{6} = \frac{\sin(45)}{12}\]

Подставим значения и решим это уравнение:

\[\frac{h}{6} = \frac{\sqrt{2}/2}{12}\]
\[h = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{6}{12}\]
\[h = \frac{\sqrt{2}}{4}\]

Таким образом, у нас есть высота второго треугольника, которая также равна \(\frac{\sqrt{2}}{4}\).

Шаг 2: Найдем объем усеченной пирамиды.
Теперь, когда у нас есть высота пирамиды, мы можем использовать формулу для объема усеченной пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \cdot (A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 \cdot A_2}) \cdot h\]

где \(A_1\) и \(A_2\) - площади оснований пирамиды, а \(h\) - высота.

Подставим значения:

\[V = \frac{1}{3} \cdot (6^2 + 12^2 + \sqrt{6^2 \cdot 12^2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}\]
\[V = \frac{1}{3} \cdot (36 + 144 + \sqrt{36 \cdot 144}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}\]
\[V = \frac{1}{3} \cdot (36 + 144 + 6 \cdot 12) \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}\]
\[V = \frac{1}{3} \cdot (36 + 144 + 72) \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}\]
\[V = \frac{1}{3} \cdot (252) \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}\]
\[V = 84 \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}\]
\[V = 21\sqrt{2}\]

Таким образом, объем усеченной пирамиды с равными сторонами оснований 6 см и 12 см, и с острым углом боковой грани равным 45 градусов, равен \(21\sqrt{2}\) кубическим сантиметрам.