Какое значение k нужно выбрать, чтобы система 2y=3x-2 y=1,5x+k имела бесконечное множество решений?

Serdce_Okeana

48

Чтобы определить значение \(k\), при котором система уравнений \(\begin{cases}2y=3x-2 \\ y=1.5x+k\end{cases}\) имеет бесконечное множество решений, мы должны найти случай, когда оба уравнения системы представляют собой одну и ту же прямую.

Для начала, давайте приведем второе уравнение к виду, аналогичному первому. Умножим оба выражения второго уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

\(2y = 3x - 2\) (1)
\(2y = 3x + 2k\) (2)

Теперь мы можем сравнить коэффициенты при \(x\) и свободные члены в уравнениях (1) и (2):

Коэффициенты при \(x\):
Уравнение (1): 3
Уравнение (2): 3

Свободные члены:
Уравнение (1): -2
Уравнение (2): 2k

Таким образом, чтобы оба уравнения представляли собой одну и ту же прямую, у которой все точки совпадают, коэффициенты перед \(x\) и свободные члены должны быть равными.

Исходя из этого, мы можем записать уравнение:

3 = 3
-2 = 2k

Сравнивая оба уравнения, мы видим, что первое уравнение выполняется всегда, вне зависимости от значения \(k\). Второе уравнение (-2 = 2k) означает, что -2 должно быть равно 2k.

Теперь найдем значение \(k\), разделив оба выражения на 2:
\(-2/2 = 2k/2\)
\(-1 = k\)

Таким образом, значение \(k = -1\) приведет к бесконечному множеству решений для системы уравнений \(\begin{cases}2y=3x-2 \\ y=1.5x+k\end{cases}\).