Каков радиус меньшей окружности, если радиус большей окружности составляет 8 см и угол ВАС равен 60 градусов

Laki

20

Для решения данной задачи нам понадобится использовать свойство касательных, соединяющих точку касания с центром окружности. Давайте решим задачу пошагово, чтобы все было понятно.

Шаг 1:

На рисунке даны две окружности с общим центром и радиусами $R_1$ (меньшая окружность) и $R_2$ (большая окружность).

Шаг 2:

Обозначим точки касания окружностей с касательными как $B$ и $C$, а центр меньшей окружности как $O$. У нас также известно, что угол ВАС равен 60 градусов.

Шаг 3:

Заметим, что $\mathrm{\angle }BOC$ - это центральный угол, опирающийся на дугу $BC$. Так как это дуга окружности, угол $\mathrm{\angle }BOC$ должен быть равен удвоенному углу ВАС. То есть, $\mathrm{\angle }BOC=2\cdot \mathrm{\angle }ВАС=2\cdot {60}^{\circ }={120}^{\circ }$.

Шаг 4:

У нас есть треугольник $BOC$ со сторонами $BC=8cm$ (так как они являются касательными к меньшей окружности) и $BO=CO=R_1+R_2$. Мы можем найти третью сторону треугольника, используя теорему косинусов.

Таким образом, мы можем записать:

$$B{C}^2=B{O}^2+C{O}^2-2\cdot BO\cdot CO\cdot \cos (\mathrm{\angle }BOC)$$

$$8^2=(R_1+R_2{)}^2+(R_1+R_2{)}^2-2\cdot (R_1+R_2)\cdot (R_1+R_2)\cdot \cos ({120}^{\circ })$$

$$64=2\cdot (R_1+R_2{)}^2-2\cdot (R_1+R_2{)}^2\cdot (-\frac{1}{2})$$

$$64=2\cdot (R_1+R_2{)}^2+(R_1+R_2{)}^2$$

$$64=3\cdot (R_1+R_2{)}^2$$

Шаг 5:

Разделим обе части последнего уравнения на 3:

$$\frac{64}{3}=(R_1+R_2{)}^2$$

Шаг 6:

Извлечем квадратный корень из обеих частей равенства:

$$\sqrt{\frac{64}{3}}=R_1+R_2$$

$$\frac{8}{\sqrt{3}}=R_1+R_2$$

Шаг 7:

Теперь у нас есть уравнение для суммы радиусов меньшей и большей окружностей. Но наша задача - найти радиус меньшей окружности $R_1$. Отнимем радиус большей окружности $R_2$ от обеих частей уравнения:

$$\frac{8}{\sqrt{3}}-R_2=R_1$$

Таким образом, радиус меньшей окружности $R_1$ равен $\frac{8}{\sqrt{3}}-R_2$.

Окончательный ответ:

Радиус меньшей окружности составит $\frac{8}{\sqrt{3}}-R_2$ см.