Каков радиус меньшей окружности, если радиус большей окружности составляет 8 см и угол ВАС равен 60 градусов

  • 7
Каков радиус меньшей окружности, если радиус большей окружности составляет 8 см и угол ВАС равен 60 градусов, а на рисунке 130 две окружности имеют общий центр и проведены касательные АВ и АС к меньшей окружности?
Laki
20
Для решения данной задачи нам понадобится использовать свойство касательных, соединяющих точку касания с центром окружности. Давайте решим задачу пошагово, чтобы все было понятно.

Шаг 1:

На рисунке даны две окружности с общим центром и радиусами R1 (меньшая окружность) и R2 (большая окружность).

Шаг 2:

Обозначим точки касания окружностей с касательными как B и C, а центр меньшей окружности как O. У нас также известно, что угол ВАС равен 60 градусов.

Шаг 3:

Заметим, что BOC - это центральный угол, опирающийся на дугу BC. Так как это дуга окружности, угол BOC должен быть равен удвоенному углу ВАС. То есть, BOC=2ВАС=260=120.

Шаг 4:

У нас есть треугольник BOC со сторонами BC=8 cm (так как они являются касательными к меньшей окружности) и BO=CO=R1+R2. Мы можем найти третью сторону треугольника, используя теорему косинусов.

Таким образом, мы можем записать:

BC2=BO2+CO22BOCOcos(BOC)

82=(R1+R2)2+(R1+R2)22(R1+R2)(R1+R2)cos(120)

64=2(R1+R2)22(R1+R2)2(12)

64=2(R1+R2)2+(R1+R2)2

64=3(R1+R2)2

Шаг 5:

Разделим обе части последнего уравнения на 3:

643=(R1+R2)2

Шаг 6:

Извлечем квадратный корень из обеих частей равенства:

643=R1+R2

83=R1+R2

Шаг 7:

Теперь у нас есть уравнение для суммы радиусов меньшей и большей окружностей. Но наша задача - найти радиус меньшей окружности R1. Отнимем радиус большей окружности R2 от обеих частей уравнения:

83R2=R1

Таким образом, радиус меньшей окружности R1 равен 83R2.

Окончательный ответ:

Радиус меньшей окружности составит 83R2 см.