Каков радиус меньшей окружности, если радиус большей окружности составляет 8 см и угол ВАС равен 60 градусов

Laki

20

Для решения данной задачи нам понадобится использовать свойство касательных, соединяющих точку касания с центром окружности. Давайте решим задачу пошагово, чтобы все было понятно.

Шаг 1:

На рисунке даны две окружности с общим центром и радиусами \(R_1\) (меньшая окружность) и \(R_2\) (большая окружность).

Шаг 2:

Обозначим точки касания окружностей с касательными как \(B\) и \(C\), а центр меньшей окружности как \(O\). У нас также известно, что угол ВАС равен 60 градусов.

Шаг 3:

Заметим, что \(\angle BOC\) - это центральный угол, опирающийся на дугу \(BC\). Так как это дуга окружности, угол \(\angle BOC\) должен быть равен удвоенному углу ВАС. То есть, \(\angle BOC = 2 \cdot \angle ВАС = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ\).

Шаг 4:

У нас есть треугольник \(BOC\) со сторонами \(BC = 8\ cm\) (так как они являются касательными к меньшей окружности) и \(BO = CO = R_1 + R_2\). Мы можем найти третью сторону треугольника, используя теорему косинусов.

Таким образом, мы можем записать:

\[BC^2 = BO^2 + CO^2 - 2 \cdot BO \cdot CO \cdot \cos(\angle BOC)\]

\[8^2 = (R_1 + R_2)^2 + (R_1 + R_2)^2 - 2 \cdot (R_1 + R_2) \cdot (R_1 + R_2) \cdot \cos(120^\circ)\]

\[64 = 2 \cdot (R_1 + R_2)^2 - 2 \cdot (R_1 + R_2)^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\]

\[64 = 2 \cdot (R_1 + R_2)^2 + (R_1 + R_2)^2\]

\[64 = 3 \cdot (R_1 + R_2)^2\]

Шаг 5:

Разделим обе части последнего уравнения на 3:

\[\frac{64}{3} = (R_1 + R_2)^2\]

Шаг 6:

Извлечем квадратный корень из обеих частей равенства:

\[\sqrt{\frac{64}{3}} = R_1 + R_2\]

\[\frac{8}{\sqrt{3}} = R_1 + R_2\]

Шаг 7:

Теперь у нас есть уравнение для суммы радиусов меньшей и большей окружностей. Но наша задача - найти радиус меньшей окружности \(R_1\). Отнимем радиус большей окружности \(R_2\) от обеих частей уравнения:

\[\frac{8}{\sqrt{3}} - R_2 = R_1\]

Таким образом, радиус меньшей окружности \(R_1\) равен \( \frac{8}{ \sqrt{3}} - R_2\).

Окончательный ответ:

Радиус меньшей окружности составит \( \frac{8}{ \sqrt{3}} - R_2\) см.