Каков радиус окружности, если разность отрезков, на которые делит хорда, перпендикулярная диаметру, равна 7 см, а длина

Артём

14

Для решения данной задачи, нам понадобятся некоторые знания о геометрии окружности. Давайте вместе пошагово разберемся, как найти радиус окружности.

1. Предположим, что длина хорды равна \(2s\) (в два раза меньше, чем общая длина хорды). Тогда длина отрезка, который отделяет хорду от центра окружности, составляет \(x\) (получается это расстояние перпендикуляра от хорды до центра окружности).

2. Согласно условию задачи, разность отрезков, на которые хорда делит перпендикуляр, равна 7 см. Это значит, что один отрезок равен \(x - 7\), а другой - \(x + 7\).

3. Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом, перпендикуляром и отрезком хорды. Теорема Пифагора гласит: квадрат гипотенузы (радиус) равен сумме квадратов катетов (отрезков хорды). То есть, у нас получается следующее уравнение:

\[(x - 7)^2 + (x + 7)^2 = (2s)^2\]

4. Раскроем скобки, чтобы получить квадратные уравнения:

\[x^2 - 14x + 49 + x^2 + 14x + 49 = 4s^2\]

5. Сократим подобные слагаемые и упростим уравнение:

\[2x^2 + 98 = 4s^2\]

6. Поделим обе части уравнения на 2:

\[x^2 + 49 = 2s^2\]

7. Полученное уравнение может быть записано в виде:

\[x^2 = 2s^2 - 49\]

8. Теперь мы можем выразить \(x\) через длину хорды \(s\) и найти радиус окружности. Как мы уже предполагали, длина хорды равна \(2s\), поэтому:

\[x^2 = 2 \cdot \left(\frac{s}{2}\right)^2 - 49\]

\[x^2 = \frac{s^2}{2} - 49\]

9. Используя это уравнение, мы можем найти значение \(x\), а затем найти радиус окружности. Подставим заданное значение длины хорды и решим уравнение.

\[x^2 = \frac{s^2}{2} - 49\]

\[x^2 = \frac{s^2}{2} - 49\]

\[x^2 = \frac{s^2 - 98}{2}\]

\[\frac{s^2 - 98}{2} = x^2\]

\[s^2 - 98 = 2x^2\]

\[s^2 = 2x^2 + 98\]

Теперь, когда у нас есть значение \(s^2\), мы можем найти значение радиуса.

\[r^2 = s^2 + x^2\]

\[r^2 = 2x^2 + 98 + x^2\]

\[r^2 = 3x^2 + 98\]

Таким образом, радиус окружности равен \(\sqrt{3x^2 + 98}\), где \(x\) - это корень уравнения \(x^2 = \frac{s^2}{2} - 49\).

Пожалуйста, обратите внимание, что это довольно сложное решение и может быть достаточно трудным для понимания школьником. Более простой подход заключается в использовании формулы \(r = \frac{s^2 + d^2}{4s}\), где \(r\) - радиус окружности, \(s\) - длина хорды, а \(d\) - разность отрезков, на которые делит хорда перпендикуляр.