Каков радиус окружности, в которую вписан правильный треугольник со стороной, периметр которого на 3√3 меньше периметра

Polyarnaya

23

Чтобы найти радиус окружности, в которую вписан правильный треугольник, нам понадобится формула для периметра правильного треугольника и периметра правильного шестиугольника.

Периметр правильного треугольника равен произведению длины одной стороны на 3, потому что в правильном треугольнике все стороны равны:

\[P_{\text{треугольника}} = 3 \cdot \text{длина стороны треугольника}\]

Периметр правильного шестиугольника равен произведению длины одной стороны на 6, так как в правильном шестиугольнике все стороны равны:

\[P_{\text{шестиугольника}} = 6 \cdot \text{длина стороны шестиугольника}\]

Дано, что периметр правильного треугольника на \(3\sqrt{3}\) меньше периметра правильного шестиугольника. Из этого следует уравнение:

\[P_{\text{шестиугольника}} - P_{\text{треугольника}} = 3\sqrt{3}\]

Заменяя формулы периметров, получаем:

\[6 \cdot \text{длина стороны шестиугольника} - 3 \cdot \text{длина стороны треугольника} = 3\sqrt{3}\]

Теперь мы можем найти отношение между длиной стороны шестиугольника и длиной стороны треугольника:

\[6 \cdot \text{длина стороны шестиугольника} = 3 \cdot \text{длина стороны треугольника} + 3\sqrt{3}\]

\[2 \cdot \text{длина стороны шестиугольника} = \text{длина стороны треугольника} + \sqrt{3}\]

Так как радиус окружности, в которую вписан правильный треугольник, равен половине длины стороны треугольника, мы можем записать:

\[2 \cdot \text{радиус окружности} = \text{длина стороны треугольника} + \sqrt{3}\]

Теперь нам нужно выразить радиус окружности через известные значения. Для этого воспользуемся свойством правильного треугольника, которое гласит, что радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен произведению стороны треугольника на \(\frac{\sqrt{3}}{3}\):

\[\text{радиус окружности} = \text{длина стороны треугольника} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\]

Теперь можем записать уравнение:

\[2 \cdot \text{радиус окружности} = \text{длина стороны треугольника} + \sqrt{3}\]

Подставляя формулу для радиуса окружности, получаем:

\[2 \cdot \text{длина стороны треугольника} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \text{длина стороны треугольника} + \sqrt{3}\]

Далее упрощаем это уравнение, перенося слагаемые с длиной стороны треугольника в одну сторону:

\[2 \cdot \text{длина стороны треугольника} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} - \text{длина стороны треугольника} = \sqrt{3}\]

\[2 \cdot \text{длина стороны треугольника} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{3}{3} \cdot \text{длина стороны треугольника} = \sqrt{3}\]

\[\left(2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{3}{3}\right) \cdot \text{длина стороны треугольника} = \sqrt{3}\]

\[\left(\frac{2\sqrt{3} - 3}{3}\right) \cdot \text{длина стороны треугольника} = \sqrt{3}\]

Теперь из этого уравнения можно найти длину стороны треугольника:

\[\text{длина стороны треугольника} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{2\sqrt{3} - 3}{3}}\]

Для удобства можем умножить числитель и знаменатель на \(\frac{3}{\sqrt{3}}\):

\[\text{длина стороны треугольника} = \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{2\sqrt{3} - 3}\]

Умножаем числитель:

\[\text{длина стороны треугольника} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3} - 3}\]

Теперь можем найти радиус окружности, в которую вписан правильный треугольник. Подставляем значение длины стороны треугольника в формулу для радиуса окружности:

\[\text{радиус окружности} = \frac{3\sqrt{3}}{3(2\sqrt{3} - 3)}\]

\[\text{радиус окружности} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3} - 3}\]

Таким образом, радиус окружности, в которую вписан правильный треугольник со стороной, периметр которого на \(3\sqrt{3}\) меньше периметра правильного шестиугольника, описанного вокруг этой окружности, равен \(\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3} - 3}\).