Каков радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, если периметр этого шестиугольника на 4√3 больше

Angelina

1

Для решения данной задачи воспользуемся следующими шагами:

1. Представим, что данная окружность вписана в правильный шестиугольник. Обозначим радиус этой окружности как $r$.

2. Для начала, рассмотрим периметр правильного треугольника, описанного около данной окружности. Поскольку треугольник правильный, все его стороны равны. Обозначим длину стороны треугольника как $a$.

3. Периметр треугольника можно выразить как сумму длин его сторон. В нашем случае, периметр треугольника равен $3a$.

4. Теперь рассмотрим периметр шестиугольника, в котором вписана окружность. Поскольку шестиугольник правильный, все его стороны также равны длине стороны треугольника. Обозначим длину стороны шестиугольника как $b$.

5. Периметр шестиугольника можно выразить как сумму длин его сторон. В данной задаче, периметр шестиугольника на 4√3 больше периметра треугольника, то есть $b=3a+4\sqrt{3}$.

6. Так как окружность вписана в шестиугольник, можно провести радиусы окружности к вершинам шестиугольника. Каждый радиус, проведенный к вершине шестиугольника, будет являться радиусом окружности и стороной правильного треугольника.

7. Из рисунка можно заметить прямоугольный треугольник, образованный двумя радиусами окружности и стороной шестиугольника. Применяя теорему Пифагора к этому треугольнику, получим следующее:

$$r^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=a^2$$

Это связано с тем, что длина стороны правильного треугольника, являющейся радиусом вписанной окружности, равна половине длины стороны шестиугольника.

8. Решим уравнение для нахождения значения $a$:

$${\left(\frac{a}{2}\right)}^2=a^2-r^2$$

$$\frac{a^2}{4}=a^2-r^2$$

$$a^2=4(a^2-r^2)$$

$$4r^2=3a^2$$

$$a^2=\frac{4}{3}{r}^2$$

$$a=\frac{2}{\sqrt{3}}r$$

9. Подставим полученное значение $a$ в уравнение, связывающее периметры треугольника и шестиугольника:

$b=3a+4\sqrt{3}$

$b=3\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}r+4\sqrt{3}$

$b=2\sqrt{3}r+4\sqrt{3}$

$b=6\sqrt{3}r$

10. Теперь мы знаем, что периметр шестиугольника равен $6\sqrt{3}r$, где $r$ - радиус окружности.

11. Сравнивая это с предыдущим равенством $b=3a+4\sqrt{3}$, получаем:

$b=6\sqrt{3}r=3a+4\sqrt{3}$

$6\sqrt{3}r=3\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}r+4\sqrt{3}$

$6\sqrt{3}r=6\sqrt{3}r$

12. Таким образом, это означает, что радиус окружности $\boxed{{\displaystyle r}}$ может быть любым числом, так как равенство выполняется при любых значениях $r$.