Каков радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, если периметр этого шестиугольника на 4√3 больше

Angelina

1

Для решения данной задачи воспользуемся следующими шагами:

1. Представим, что данная окружность вписана в правильный шестиугольник. Обозначим радиус этой окружности как \(r\).

2. Для начала, рассмотрим периметр правильного треугольника, описанного около данной окружности. Поскольку треугольник правильный, все его стороны равны. Обозначим длину стороны треугольника как \(a\).

3. Периметр треугольника можно выразить как сумму длин его сторон. В нашем случае, периметр треугольника равен \(3a\).

4. Теперь рассмотрим периметр шестиугольника, в котором вписана окружность. Поскольку шестиугольник правильный, все его стороны также равны длине стороны треугольника. Обозначим длину стороны шестиугольника как \(b\).

5. Периметр шестиугольника можно выразить как сумму длин его сторон. В данной задаче, периметр шестиугольника на 4√3 больше периметра треугольника, то есть \(b = 3a + 4\sqrt{3}\).

6. Так как окружность вписана в шестиугольник, можно провести радиусы окружности к вершинам шестиугольника. Каждый радиус, проведенный к вершине шестиугольника, будет являться радиусом окружности и стороной правильного треугольника.

7. Из рисунка можно заметить прямоугольный треугольник, образованный двумя радиусами окружности и стороной шестиугольника. Применяя теорему Пифагора к этому треугольнику, получим следующее:

\[r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2\]

Это связано с тем, что длина стороны правильного треугольника, являющейся радиусом вписанной окружности, равна половине длины стороны шестиугольника.

8. Решим уравнение для нахождения значения \(a\):

\[\left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 - r^2\]

\[\frac{a^2}{4} = a^2 - r^2\]

\[a^2 = 4(a^2 - r^2)\]

\[4r^2 = 3a^2\]

\[a^2 = \frac{4}{3}r^2\]

\[a = \frac{2}{\sqrt{3}}r\]

9. Подставим полученное значение \(a\) в уравнение, связывающее периметры треугольника и шестиугольника:

\(b = 3a + 4\sqrt{3}\)

\(b = 3 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}r + 4\sqrt{3}\)

\(b = 2\sqrt{3}r + 4\sqrt{3}\)

\(b = 6\sqrt{3}r\)

10. Теперь мы знаем, что периметр шестиугольника равен \(6\sqrt{3}r\), где \(r\) - радиус окружности.

11. Сравнивая это с предыдущим равенством \(b = 3a + 4\sqrt{3}\), получаем:

\(b = 6\sqrt{3}r = 3a + 4\sqrt{3}\)

\(6\sqrt{3}r = 3 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}r + 4\sqrt{3}\)

\(6\sqrt{3}r = 6\sqrt{3}r\)

12. Таким образом, это означает, что радиус окружности \(\boxed{r}\) может быть любым числом, так как равенство выполняется при любых значениях \(r\).