Каков радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, если он равен 13? Каков радиус окружности, описанной около

Максимович

60

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Пусть у нас есть правильный треугольник ABC, вписанный в окружность.

A
/ \
/ \
c / \ b
/ O \
/_________\
B a C

Пусть O - центр вписанной окружности, а r - радиус этой окружности.

Так как треугольник ABC является правильным, то его все стороны равны, то есть AB = BC = AC = a.

Также известно, что радиус окружности, вписанной в треугольник, является перпендикуляром к его сторонам. Поэтому радиус окружности разделит стороны треугольника на две равные части.

Пусть точка M - точка пересечения радиуса и стороны AB. Тогда AM будет равна BM.

A
/ \
/ \
/ M \
/ \
/_________\
B____13____C

Треугольник AMC является прямоугольным треугольником, и мы знаем, что AM = BM = 13/2 = 6,5.

Так как радиус окружности O - это перпендикуляр к стороне AB, то он будет проходить через середину стороны AB и иметь равное расстояние до концов этой стороны.

Таким образом, радиус r окружности O равен половине стороны AB, или r = 6,5.

Теперь давайте рассмотрим описанную окружность этого треугольника.

Радиус окружности, описанной около треугольника, является радиусом окружности, проходящей через вершины этого треугольника.

Рассмотрим треугольник ABC:

A
/ \
/ \
c / \ b
/ O \
/_________\
B a C

Такой окружностью мы можем описать треугольник, если радиус окружности будет равен половине диагонали треугольника.

Для нахождения радиуса окружности O" мы можем использовать формулу радиуса описанной окружности в равностороннем треугольнике:

R" = a/(2*sqrt(3))

Где R" - это радиус окружности, описанной около треугольника, a - длина стороны треугольника (в данном случае a = 13).

Подставляя значения, получаем:

R" = 13/(2*sqrt(3)) ≈ 13/3,46 ≈ 3,76

Таким образом, радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 6,5, а радиус окружности, описанной около него, составляет около 3,76.