Каков радиус описанной окружности вокруг правильного шестиугольника с вписанной окружностью радиусом 9? Какова длина

Radusha

54

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится знание о свойствах правильных шестиугольников и связанных с ними формул.

Правильный шестиугольник имеет все стороны и углы одинакового размера. Также известно, что вписанная окружность правильного шестиугольника касается всех его сторон.

Давайте рассмотрим вписанный шестиугольник более подробно. Вписанная окружность правильного шестиугольника касается каждой стороны в точке соприкосновения. Это означает, что линия, соединяющая центр окружности с точкой касания на стороне, является радиусом окружности и перпендикулярна этой стороне.

Мы знаем, что радиус вписанной окружности равен 9, поэтому рассмотрим треугольник, образованный половиной стороны правильного шестиугольника, радиусом вписанной окружности и отрезком между центром окружности и вершиной треугольника.

\( \dfrac{r}{9} \) - отношение радиуса вписанной окружности к стороне треугольника, где r - радиус вписанной окружности.
\( \dfrac{9}{x} \) - отношение стороны треугольника к радиусу вписанной окружности, где x - сторона треугольника.

Теперь мы можем записать уравнение, используя теорему Пифагора:
\(x^2 = (\dfrac{9}{x})^2 + 9^2 \)

Раскроем скобки:
\(x^2 = \dfrac{81}{x^2} + 81 \)

Приведем к общему знаменателю:
\(x^2 = \dfrac{81 + 81x^2}{x^2} \)

Умножим обе части уравнения на \(x^2\), чтобы избавиться от знаменателя:
\(x^4 = 81 + 81x^2 \)

Перенесем все члены в одну сторону:
\(x^4 - 81x^2 - 81 = 0 \)

Данное уравнение является квадратным относительно \(x^2\). Если мы решим его, то получим два значения для \(x^2\).

Примем положительное значение, так как длина стороны шестиугольника не может быть отрицательной.
\(x^2 = 90 \)

Извлекая квадратный корень из обеих сторон уравнения, мы найдем значение длины стороны правильного шестиугольника:
\(x = \sqrt{90} \approx 9.49\)

Теперь давайте рассчитаем периметр и площадь правильного шестиугольника.

Периметр шестиугольника равен произведению длины его стороны на количество сторон:
\( П = 6x = 6\sqrt{90} \approx 56.94 \)

Площадь правильного шестиугольника можно найти, разбив его на 6 равносторонних треугольников и применив формулу для площади треугольника:
\( S = 6 \times \dfrac{1}{2} \times x \times r = 6 \times \dfrac{1}{2} \times 9.49 \times 9 \approx 254.96 \)

Таким образом, радиус описанной окружности вокруг правильного шестиугольника составляет 9.49, длина стороны равна примерно 9.49, периметр равен примерно 56.94, а площадь равна примерно 254.96.