Каков радиус основания цилиндра, если диагональ осевого сечения наклонена к плоскости основания цилиндра под углом

Антонович

36

Чтобы найти радиус основания цилиндра, нужно провести несколько шагов.

Шаг 1: Представим, что у нас есть осевое сечение цилиндра, которое является прямоугольным треугольником. Пусть стороны этого треугольника равны a, b и c, где c - это диагональ осевого сечения цилиндра.

Шаг 2: Зная, что угол между диагональю сечения и плоскостью основания цилиндра составляет 45 градусов, мы можем использовать теорему косинусов для нахождения длины диагонали c. Формула для теоремы косинусов выглядит следующим образом:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cdot\cos(\theta)\]

где \(c\) - длина диагонали сечения, \(a\) и \(b\) - длины сторон треугольника, \(\theta\) - угол между диагональю и стороной треугольника.

В нашем случае длина диагонали \(c\) - это длина диагонали сечения цилиндра. У нас также есть информация о угле между диагональю и стороной треугольника, который составляет 45 градусов. Подставим значения в формулу:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cdot\cos(45^\circ)\]

Шаг 3: Теперь нам нужно узнать, каковы длины сторон треугольника \(a\) и \(b\). Прямоугольный треугольник получается из половины окружности с радиусом цилиндра и прямоугольника с высотой, равной высоте цилиндра и \(a\) - это радиус половины окружности, а \(b\) - высота.

Шаг 4: Можно использовать теорему Пифагора для связи \(a\), \(b\) и радиуса цилиндра \(r\):

\[a^2 + b^2 = r^2\]

Шаг 5: Подставим полученное выражение для \(a^2 + b^2\) в формулу из шага 2:

\[c^2 = r^2 - 2r^2\cdot\cos(45^\circ)\]

Шаг 6: Упростим формулу:

\[c^2 = r^2 - r^2\cdot\sqrt{2}\]

\[c^2 = r^2(1 - \sqrt{2})\]

Шаг 7: Чтобы найти радиус \(r\), нужно избавиться от квадрата и извлечь корень из обеих сторон:

\[c = \sqrt{r^2(1 - \sqrt{2})}\]

\[c = r\sqrt{1 - \sqrt{2}}\]

Шаг 8: Для нахождения радиуса \(r\), нужно разделить обе стороны на \(\sqrt{1 - \sqrt{2}}\):

\[r = \frac{c}{\sqrt{1 - \sqrt{2}}}\]

Таким образом, радиус основания цилиндра равен \(\frac{c}{\sqrt{1 - \sqrt{2}}}\).