Каков ранг матрицы, если в матрице размером (5,18) есть 4 единичных элемента, а все остальные элементы равны нулю?
Каков ранг матрицы, если в матрице размером (5,18) есть 4 единичных элемента, а все остальные элементы равны нулю? Расположены ли ненулевые элементы таким образом, что в каждой строке и столбце может быть только один ненулевой элемент?
Григорий 55
Данная задача связана с матрицами и рангом матрицы. Ранг матрицы определяется как максимальное количество линейно независимых строк (или столбцов) в матрице. Чтобы решить эту задачу, нам нужно понять, какие строки или столбцы в данной матрице являются линейно независимыми.Первое условие говорит нам, что в матрице размером (5,18) есть 4 единичных элемента, а все остальные элементы равны нулю. Это означает, что в каждой строке и столбце матрицы может быть только один ненулевой элемент. Такой тип матрицы называется "единичная матрица".
Данная матрица выглядит следующим образом:
\[
\begin{array}{cccccccccccccccccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\]
Как мы видим, в каждой строке и столбце есть только один ненулевой элемент, что удовлетворяет второму условию задачи. Поэтому каждая строка и каждый столбец этой матрицы являются линейно независимыми.
Так как в данной матрице есть 4 линейно независимые строки (или столбца), ранг этой матрицы равен 4.