Каков равнобедренный треугольник с периметром p, который имеет наибольшую площадь? Рассмотрим график функции и найдем

Georgiy

6

Чтобы найти равнобедренный треугольник с наибольшей площадью при заданном периметре \(p\), мы можем использовать метод дифференциального исчисления для нахождения точек перегиба функции площади равнобедренного треугольника относительно его основания.

Пусть длина основания равнобедренного треугольника равна \(2a\), а высота проведена из вершины этого треугольника к его основанию равна \(h\).

Площадь \(A\) равнобедренного треугольника можно выразить как:

\[A = \frac{1}{2} \cdot (2a) \cdot h = a \cdot h\]

Используя теорему Пифагора, мы можем найти \(h\) в терминах \(a\) и \(p\):

\[h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2}\]

Теперь, чтобы найти \(A\) как функцию от \(a\), мы можем подставить это значение для \(h\):

\[A = a \cdot \sqrt{a^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2}\]

Чтобы найти точки перегиба этой функции, мы можем найти ее вторую производную \(A""\) по \(a\) и приравнять ее к нулю:

\[A""(a) = \frac{d^2A}{da^2} = 0\]

Сначала найдем первую производную \(A"(a)\):

\[A"(a) = \frac{dA}{da} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2} + \frac{a \cdot \frac{2a}{2}}{\sqrt{a^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2}}\]

Теперь найдем вторую производную и приравняем ее к нулю:

\[A""(a) = \frac{d^2A}{da^2} = \frac{\left(\frac{2a}{2}\right)^2}{\sqrt{a^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2}} - \frac{a^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2}{\left(\sqrt{a^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2}\right)^3} = 0\]

Решив это уравнение, мы найдем значения \(a\), для которых площадь \(A\) имеет точку перегиба.

Обоснование: При доказательстве можно использовать свойства функции площади равнобедренного треугольника и свойства экстремумов функций.

Пожалуйста, уточните, к какой функции относится график, который вы хотите рассмотреть для поиска точек перегиба. Это позволит мне предоставить вам точные значения этих точек.