Каков результат деления выражения (k+4)/(k-4) на (k^2-8k+16)/(k^2-16)?

Магический_Вихрь

46

Хорошо, давайте решим данную задачу по шагам, чтобы ответ был понятен школьнику.

1. Для начала, нам нужно разложить знаменатель выражения (k+4)/(k-4) и дроби (k^2-8k+16)/(k^2-16) на множители, чтобы произвести сокращение.

2. Разложим знаменатель выражения (k+4)/(k-4). Для этого воспользуемся методом приведения квадратного трехчлена. Запишем формулу:
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\)

Применим эту формулу к знаменателю (k-4) и получим:
\(k^2 - 4^2 = (k - 4)(k + 4)\)

Таким образом, мы можем переписать наше выражение в следующем виде:
\(\frac{k + 4}{(k - 4)(k + 4)}\)

3. Разложим также знаменатель дроби (k^2-8k+16)/(k^2-16). Применим формулы разности квадратов и суммы квадратов:
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\)
\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\)

Тогда знаменатель можно разложить следующим образом:
\(k^2 - 8k + 16 = (k - 4)^2\)
\(k^2 - 16 = (k + 4)(k - 4)\)

Теперь выражение (k^2-8k+16)/(k^2-16) можно записать в виде:
\(\frac{(k - 4)^2}{(k + 4)(k - 4)}\)

4. Подставим полученные разложения в исходное выражение:
\(\frac{k + 4}{(k - 4)(k + 4)} \div \frac{(k - 4)^2}{(k + 4)(k - 4)}\)

5. Мы можем сократить общие множители в числителе и знаменателе:
\(\frac{k + 4}{(k - 4)(k + 4)} \cdot \frac{(k + 4)(k - 4)}{(k - 4)^2}\)

6. Заметим, что в числителе и знаменателе у нас есть прямые сокращения:
\((k + 4)\) сокращается в числителе и знаменателе, а также \((k - 4)\) сокращается в числителе и знаменателе.

Получаем следующее выражение:
\(\frac{1}{k - 4}\)

Таким образом, результат деления выражения (k+4)/(k-4) на (k^2-8k+16)/(k^2-16) равен \(\frac{1}{k - 4}\).