Каков закон, функция распределения, ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение количества дефектных

Танец

59

Для решения данной задачи нам понадобятся некоторые понятия из математической статистики. Давайте разберем их по очереди.

1. Закон распределения:
Здесь нам необходимо определить закон распределения для количества дефектных изделий среди трех случайно выбранных из партии из 25 изделий. В данном случае мы имеем дело с биномиальным распределением, так как каждое изделие может быть дефектным или недефектным (успехом или неудачей) с определенной вероятностью. Таким образом, закон распределения в данной задаче будет биномиальным распределением.

2. Функция распределения:
Функция распределения показывает вероятность получения определенного количества дефектных изделий после проведения трех выборок. Для биномиального распределения функция распределения может быть рассчитана следующим образом:

\[F(k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1-p)^{n-i}\]

Где \(k\) - количество дефектных изделий, \(n\) - количество выбранных изделий, \(p\) - вероятность наличия дефекта в каждом изделии.

3. Ожидание:
Ожидание (математическое ожидание) - это среднее значение случайной величины. Для биномиального распределения ожидание можно найти по следующей формуле:

\[\mu = n \cdot p\]

Где \(\mu\) - ожидание, \(n\) - количество выбранных изделий, \(p\) - вероятность наличия дефекта в каждом изделии.

4. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение:
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - это меры разброса случайной величины. Для биномиального распределения они могут быть рассчитаны следующим образом:

\[\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1-p)\]

\[\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\]

Где \(\sigma\) - дисперсия, \(\sigma\) - среднее квадратическое отклонение, \(n\) - количество выбранных изделий, \(p\) - вероятность наличия дефекта в каждом изделии.

Теперь давайте решим задачу построения полигона, отражающего данное распределение. Полигон (гистограмма) - это графическое представление, отображающее частоты различных значений случайной величины.

Для построения полигона, нам потребуется определить вероятность получения каждого возможного количества дефектных изделий из трех выбранных. Для этого нам необходимо знать вероятность наличия дефекта в каждом изделии.

Пусть \(p\) - вероятность наличия дефекта в каждом изделии. В данной задаче из партии из 25 изделий, 5 изделий имеют скрытый дефект, а значит вероятность \(p\) равна \(5/25\) или \(1/5\), так как есть 5 дефектных изделий из общего количества 25.

Теперь рассчитаем вероятность получения каждого количества дефектных изделий из трех выбранных, используя функцию распределения биномиального распределения:

\[F(k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{3}{i} \cdot (1/5)^i \cdot (4/5)^{3-i}\]

Где \(k\) - количество дефектных изделий, \(n = 3\) - количество выбранных изделий, \(p = 1/5\) - вероятность наличия дефекта в каждом изделии.

Теперь построим полигон, отражающий данное распределение. На горизонтальной оси отметим количество дефектных изделий, а на вертикальной оси - вероятность каждого значения (высота столбца полигона). Применим графический редактор или программу для построения графиков для построения полигона и отобразим на нем вычисленные значения вероятностей для каждого количества дефектных изделий.

Таким образом, мы определили закон распределения, функцию распределения, ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение количества дефектных изделий среди трех случайно выбранных из партии из 25 изделий, а также построили полигон, отражающий данное распределение.