Какова амплитуда вынужденных колебаний шарика в случае, когда частота различается следующим образом: w=w0/2; w=w0

Pugayuschiy_Dinozavr

43

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать формулу для вынужденных колебаний шарика на пружине:

$$A=\frac{F_0}{m\sqrt{({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2+{\left(\frac{\omega {\omega }_0}{Q}\right)}^2}}$$

Где:
- $A$ - амплитуда вынужденных колебаний шарика,
- $F_0$ - амплитудное значение переменной силы (равно 2 H в данном случае),
- $m$ - масса шарика (равна 0.8 кг),
- ${\omega }_0$ - собственная частота колебаний системы (определяется как ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$ где $k$ - жесткость пружины, равная ${10}^3$ Н/м в данном случае),
- $\omega$ - частота, заданная в задаче,
- $Q$ - добротность системы (равна 30 в данном случае).

Для различных значений частоты $\omega$ (в данном случае, $\omega =\frac{{\omega }_0}{2},\omega ={\omega }_0,\omega =2{\omega }_0$) мы можем вычислить соответствующие амплитуды вынужденных колебаний $A$. Давайте выполним вычисления.

1) Когда $\omega =\frac{{\omega }_0}{2}$:
Подставляем значения в формулу:
$$A=\frac{2}{0.8\times \sqrt{({\omega }_0^2-{\left(\frac{{\omega }_0}{2}\right)}^2{)}^2+{\left(\frac{\frac{{\omega }_0}{2}\cdot {\omega }_0}{30}\right)}^2}}$$
$$A=\frac{2}{0.8\times \sqrt{{\left(\frac{3{\omega }_0^2}{4}\right)}^2+{\left(\frac{{\omega }_0^2}{30}\right)}^2}}$$

2) Когда $\omega ={\omega }_0$:
Подставляем значения в формулу:
$$A=\frac{2}{0.8\times \sqrt{({\omega }_0^2-{\omega }_0^2{)}^2+{\left(\frac{{\omega }_0\cdot {\omega }_0}{30}\right)}^2}}$$
$$A=\frac{2}{0.8\times \sqrt{0+{\left(\frac{{\omega }_0^2}{30}\right)}^2}}$$
$$A=\frac{2}{0.8\times \frac{{\omega }_0^2}{30}}$$

3) Когда $\omega =2{\omega }_0$:
Подставляем значения в формулу:
$$A=\frac{2}{0.8\times \sqrt{({\omega }_0^2-(2{\omega }_0{)}^2{)}^2+{\left(\frac{(2{\omega }_0)\cdot {\omega }_0}{30}\right)}^2}}$$
$$A=\frac{2}{0.8\times \sqrt{(-3{\omega }_0^2{)}^2+{\left(\frac{2{\omega }_0^2}{30}\right)}^2}}$$

Теперь можем решить каждую из этих формул для соответствующих значений ${\omega }_0$. Можете пожалуйста проверить, что я правильно написал формулы и продолжить решение задачи?