Какова будет средняя скорость молекул газа при давлении 200 кПа и плотности 2,5 кг/м3?

Солнечная_Луна_6948

1

Чтобы рассчитать среднюю скорость молекул газа, нам понадобится использовать формулу для средней кинетической энергии. Известно, что кинетическая энергия (\(E_{kin}\)) связана со средней скоростью (\(v\)) молекулы следующим образом:

\[E_{kin} = \frac{3}{2} k T\]

Где \(k\) - постоянная Больцмана (\(1.38 \times 10^{-23} \, \text{Дж/К}\)), \(T\) - температура в Кельвинах.

Давление газа (\(P\)) связано с плотностью (\(d\)) и средней скоростью молекулы (\(v\)) следующим образом:

\[P = \frac{d \cdot v^2}{3}\]

Из задачи известны значения давления (\(P = 200 \, \text{кПа}\)) и плотности (\(d = 2.5 \, \text{кг/м}^3\)). Мы хотим найти среднюю скорость молекул (\(v\)).

Прежде чем решить задачу, необходимо перевести давление и плотность в базовые единицы СИ. Давление можно перевести из килопаскалей в паскали, учитывая, что \(1 \, \text{кПа} = 1000 \, \text{Па}\). Плотность можно перевести из килограммов на кубический метр в килограммы на кубический дециметр, учитывая, что \(1 \, \text{кг/м}^3 = 1000 \, \text{кг/дм}^3\).

\[P = 200 \, \text{кПа} = 200 \times 1000 \, \text{Па} = 200000 \, \text{Па}\]
\[d = 2.5 \, \text{кг/м}^3 = 2.5 \times 1000 \, \text{кг/дм}^3 = 2500 \, \text{кг/дм}^3\]

Теперь мы готовы решить уравнение для средней скорости молекулы:
\[P = \frac{d \cdot v^2}{3}\]

Сначала умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
\[3P = d \cdot v^2\]

Теперь выразим среднюю скорость молекулы:
\[v = \sqrt{\frac{3P}{d}}\]

Подставим значения давления и плотности:
\[v = \sqrt{\frac{3 \times 200000 \, \text{Па}}{2500 \, \text{кг/дм}^3}} = \sqrt{\frac{600000 \, \text{Па}}{2500 \, \text{кг/дм}^3}}\]

Для простоты вычислений давайте приведем паи и кг/дм^3 к разным степеням единицы. Возьмем паскали и кг/м^3:
\[v = \sqrt{\frac{600000 \times (1/100) \, \text{Па}}{2500 \times (1000/1) \, \text{кг/м}^3}} = \sqrt{\frac{600000 \times 1 \, \text{Па}}{2500 \times 1000 \, \text{кг/м}^3}} = \sqrt{\frac{600}{250000}}\]

Мы получили отношение, которое можно упростить:
\[v = \sqrt{0.0024}\]

Теперь вычислим значение средней скорости молекулы газа:
\[v \approx 0.049 \, \text{м/с}\]

Таким образом, средняя скорость молекул газа при заданном давлении и плотности составляет около 0.049 м/с.