Какова будет температура напитка после установления теплового равновесия между кофе и добавленной водой, если начальная

Drakon

65

Для решения данной задачи нам понадобится использовать закон сохранения энергии, а именно для смеси веществ: \(Q_{\text{к}} + Q_{\text{в}} = 0\).

Так как удельные теплоемкости воды и кофе одинаковы (\(c_{\text{к}} = c_{\text{в}}\)), мы можем записать уравнение в виде: \(m_{\text{к}} \cdot c_{\text{к}} \cdot \Delta T_{\text{к}} + m_{\text{в}} \cdot c_{\text{в}} \cdot \Delta T_{\text{в}} = 0\), где:
\(m_{\text{к}}\) - масса кофе,
\(m_{\text{в}}\) - масса воды,
\(c_{\text{к}}\) - удельная теплоемкость кофе,
\(c_{\text{в}}\) - удельная теплоемкость воды,
\(\Delta T_{\text{к}}\) - изменение температуры кофе,
\(\Delta T_{\text{в}}\) - изменение температуры воды.

Мы предполагаем, что исходная температура кофе и воды разные, поэтому можем записать \(\Delta T_{\text{к}} = T_{\text{конечная}} - T_{\text{к}}\) и \(\Delta T_{\text{в}} = T_{\text{конечная}} - T_{\text{в}}\), где:
\(T_{\text{конечная}}\) - конечная температура смеси,
\(T_{\text{к}}\) - исходная температура кофе,
\(T_{\text{в}}\) - исходная температура воды.

Мы также можем использовать информацию о пропорции добавляемой воды: \(\frac{m_{\text{в}}}{m_{\text{к}}} = \frac{1}{3}\), отсюда следует, что \(m_{\text{в}} = \frac{m_{\text{к}}}{3}\).

Теперь мы можем подставить все данные в уравнение и решить его относительно \(T_{\text{конечная}}\):
\[
m_{\text{к}} \cdot c_{\text{к}} \cdot (T_{\text{конечная}} - T_{\text{к}}) + \left(\frac{m_{\text{к}}}{3}\right) \cdot c_{\text{в}} \cdot (T_{\text{конечная}} - T_{\text{в}}) = 0
\]

Далее произведем вычисления:

\[
m_{\text{к}} \cdot c_{\text{к}} \cdot T_{\text{конечная}} - m_{\text{к}} \cdot c_{\text{к}} \cdot T_{\text{к}} + \frac{m_{\text{к}}}{3} \cdot c_{\text{в}} \cdot T_{\text{конечная}} - \frac{m_{\text{к}}}{3} \cdot c_{\text{в}} \cdot T_{\text{в}} = 0
\]

\[
T_{\text{конечная}} \cdot (m_{\text{к}} \cdot c_{\text{к}} + \frac{m_{\text{к}}}{3} \cdot c_{\text{в}}) = m_{\text{к}} \cdot c_{\text{к}} \cdot T_{\text{к}} + \frac{m_{\text{к}}}{3} \cdot c_{\text{в}} \cdot T_{\text{в}}
\]

\[
T_{\text{конечная}} = \frac{m_{\text{к}} \cdot c_{\text{к}} \cdot T_{\text{к}} + \frac{m_{\text{к}}}{3} \cdot c_{\text{в}} \cdot T_{\text{в}}}{m_{\text{к}} \cdot c_{\text{к}} + \frac{m_{\text{к}}}{3} \cdot c_{\text{в}}}
\]

Таким образом, конечная температура смеси будет равна:
\[
T_{\text{конечная}} = \frac{m_{\text{к}} \cdot c_{\text{к}} \cdot T_{\text{к}} + \frac{m_{\text{к}}}{3} \cdot c_{\text{в}} \cdot T_{\text{в}}}{m_{\text{к}} \cdot c_{\text{к}} + \frac{m_{\text{к}}}{3} \cdot c_{\text{в}}}
\]

Подставим значения: \(m_{\text{к}} = 150\, \text{г}\), \(m_{\text{в}} = \frac{m_{\text{к}}}{3} = \frac{150}{3} = 50\, \text{г}\), \(c_{\text{к}} = c_{\text{в}}\), \(T_{\text{к}} = -80\, \degree C\), \(T_{\text{в}} = 0\, \degree C\).

\[
T_{\text{конечная}} = \frac{150 \cdot c_{\text{к}} \cdot (-80) + 50 \cdot c_{\text{в}} \cdot 0}{150 \cdot c_{\text{к}} + 50 \cdot c_{\text{в}}}
\]

Из условия задачи также следует, что можно пренебречь потерями теплоты. То есть тепло, выделившееся из горячего кофе, полностью перешло на нагревание воды. Поэтому в данном случае значения удельных теплоемкостей \(c_{\text{к}}\) и \(c_{\text{в}}\) не важны и сократятся. В итоге получим:

\[
T_{\text{конечная}} = \frac{150 \cdot (-80) + 50 \cdot 0}{150 + 50} = \frac{-12000}{200} = -60\, \degree C
\]

Таким образом, конечная температура напитка после установления теплового равновесия будет составлять -60 °C.