Какова длина бокового ребра правильной треугольной пирамиды, если угол между высотой и боковой гранью составляет

Yarost

60

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Для начала, давайте обозначим необходимые величины. Пусть \(a\) - длина бокового ребра правильной треугольной пирамиды, \(r\) - радиус вписанного в пирамиду шара.

Для правильной треугольной пирамиды известно, что угол между высотой и боковой гранью равен 30 градусов. Зная это, мы можем использовать свойство треугольника, согласно которому синус угла между высотой и боковой гранью равен отношению половины длины основания треугольника к длине бокового ребра. Таким образом, у нас имеется следующее уравнение:

\(\sin 30^\circ = \frac{{\frac{1}{2}a}}{{a}}\)

Упростим это уравнение:

\(\frac{1}{2} = \frac{{\frac{1}{2}a}}{{a}}\)

Теперь, рассмотрим вписанный в пирамиду шар. Известно, что радиус вписанного шара равен \(\frac{2}{21}\). Также, шар касается основания пирамиды, а значит радиус шара будет равным половине длины основания. То есть у нас имеется следующее уравнение:

\(r = \frac{1}{2}a\)

Теперь, выразим длину бокового ребра пирамиды через радиус вписанного шара. Для этого уравняем два полученных уравнения:

\(\frac{1}{2} = \frac{1}{2}a \implies a = 1\)

Таким образом, получаем, что длина бокового ребра правильной треугольной пирамиды равна 1.