Какова длина диагоналей параллелограмма, если его стороны равны 2 см и 9 см, а угол между ними составляет

Сквозь_Огонь_И_Воду

37

Для решения данной задачи, мы можем использовать теорему косинусов, которая связывает длины сторон треугольника с косинусами углов.

Пусть стороны параллелограмма обозначены как a = 2 см и b = 9 см, а угол между ними равен C = 120°.

Сначала найдем третью сторону параллелограмма с помощью теоремы косинусов:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C\]

Подставляя известные значения:

\[c^2 = 2^2 + 9^2 - 2 \cdot 2 \cdot 9 \cdot \cos 120°\]

Вычислим значение косинуса 120°:

\[\cos 120° = -\frac{1}{2}\]

Подставим это значение в уравнение:

\[c^2 = 4 + 81 - 2 \cdot 2 \cdot 9 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\]

\[c^2 = 85 + 18\]

\[c^2 = 103\]

Теперь найдем значение с помощью извлечения квадратного корня:

\[c = \sqrt{103}\]

Таким образом, длина третьей стороны параллелограмма равна \(\sqrt{103}\) см.

Теперь рассмотрим диагонали параллелограмма. Диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника. Мы узнаем длину одной из диагоналей, например, отрезок ac.

Чтобы найти длину ac, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, так как треугольник mac является прямоугольным. Здесь m - середина стороны ab.

Пусть x - длина ac. Тогда:

\[a^2 + m^2 = x^2\]

\[2^2 + \left(\frac{9}{2}\right)^2 = x^2\]

\[4 + \frac{81}{4} = x^2\]

\[16 + 81 = 4x^2\]

\[97 = 4x^2\]

\[x^2 = \frac{97}{4}\]

\[x = \frac{\sqrt{97}}{2}\]

Таким образом, длина диагонали ac параллелограмма равна \(\frac{\sqrt{97}}{2}\) см.