Какова длина диагонали прямоугольного параллелепипеда с тремя гранями, у которых общая вершина и длины диагоналей равны

Тропик

36

Хорошо, давайте найдем длину диагонали прямоугольного параллелепипеда с помощью предоставленной информации.

У нас есть информация о трех гранях параллелепипеда, у которых общая вершина и длины диагоналей равны 10, 9. Давайте обозначим эти длины диагоналей как \(d_1\), \(d_2\) и \(d_3\).

Так как у нас прямоугольный параллелепипед, прямые, соединяющие любые две вершины, будут перпендикулярными. Поэтому мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины диагонали.

Возьмем \(d_1\) и \(d_2\). Они являются диагоналями грани параллелепипеда. По теореме Пифагора, сумма квадратов длин катетов равна квадрату гипотенузы. Пусть \(a\) и \(b\) будут длинами катетов, соответствующими \(d_1\) и \(d_2\). Тогда мы можем записать:

\[d_1^2 = a^2 + b^2\] ---(1)
\[d_2^2 = a^2 + b^2\] ---(2)

Следовательно, \(d_1^2 = d_2^2\), так как в обоих случаях мы имеем одинаковые катеты.

Теперь рассмотрим \(d_1\) и \(d_3\). Опять же, мы можем использовать теорему Пифагора:

\[d_1^2 = a^2 + c^2\] ---(3)
\[d_3^2 = a^2 + c^2\] ---(4)

Здесь \(c\) будет длина катета, соответствующего \(d_3\).

Из уравнений (1) и (4) мы видим, что \(a^2 + b^2 = a^2 + c^2\), что означает, что \(b^2 = c^2\). Значит, катеты, соответствующие \(d_2\) и \(d_3\), имеют одинаковые длины.

Теперь у нас есть две пары равных катетов (\(a, b\) и \(a, c\)) и одна пара (\(b, c\)).

Теперь для нахождения длины диагонали параллелепипеда нам нужно использовать теорему Пифагора снова. Назовем длину диагонали, которую мы хотим найти, как \(d\). Тогда мы можем записать:

\[d^2 = b^2 + c^2\]

С учетом того, что \(b = c\), мы можем записать:

\[d^2 = 2b^2\]

Теперь подставим значения длин диагоналей, которые у нас есть:

\[d^2 = 2 \cdot 9^2\]

Вычислим это:

\[d^2 = 2 \cdot 81\]
\[d^2 = 162\]

Извлекая квадратный корень, мы получим:

\[d = \sqrt{162}\]
\[d \approx 12.73\]

Итак, длина диагонали прямоугольного параллелепипеда составляет примерно 12.73.