Какова длина диагонали прямоугольного параллелепипеда с тремя гранями, у которых общая вершина и длины диагоналей равны

Тропик

36

Хорошо, давайте найдем длину диагонали прямоугольного параллелепипеда с помощью предоставленной информации.

У нас есть информация о трех гранях параллелепипеда, у которых общая вершина и длины диагоналей равны 10, 9. Давайте обозначим эти длины диагоналей как $d_1$, $d_2$ и $d_3$.

Так как у нас прямоугольный параллелепипед, прямые, соединяющие любые две вершины, будут перпендикулярными. Поэтому мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины диагонали.

Возьмем $d_1$ и $d_2$. Они являются диагоналями грани параллелепипеда. По теореме Пифагора, сумма квадратов длин катетов равна квадрату гипотенузы. Пусть $a$ и $b$ будут длинами катетов, соответствующими $d_1$ и $d_2$. Тогда мы можем записать:

$$d_1^2=a^2+b^2$$ ---(1)
$$d_2^2=a^2+b^2$$ ---(2)

Следовательно, $d_1^2=d_2^2$, так как в обоих случаях мы имеем одинаковые катеты.

Теперь рассмотрим $d_1$ и $d_3$. Опять же, мы можем использовать теорему Пифагора:

$$d_1^2=a^2+c^2$$ ---(3)
$$d_3^2=a^2+c^2$$ ---(4)

Здесь $c$ будет длина катета, соответствующего $d_3$.

Из уравнений (1) и (4) мы видим, что $a^2+b^2=a^2+c^2$, что означает, что $b^2=c^2$. Значит, катеты, соответствующие $d_2$ и $d_3$, имеют одинаковые длины.

Теперь у нас есть две пары равных катетов ($a,b$ и $a,c$) и одна пара ($b,c$).

Теперь для нахождения длины диагонали параллелепипеда нам нужно использовать теорему Пифагора снова. Назовем длину диагонали, которую мы хотим найти, как $d$. Тогда мы можем записать:

$$d^2=b^2+c^2$$

С учетом того, что $b=c$, мы можем записать:

$$d^2=2b^2$$

Теперь подставим значения длин диагоналей, которые у нас есть:

$$d^2=2\cdot 9^2$$

Вычислим это:

$$d^2=2\cdot 81$$
$$d^2=162$$

Извлекая квадратный корень, мы получим:

$$d=\sqrt{162}$$
$$d\approx 12.73$$

Итак, длина диагонали прямоугольного параллелепипеда составляет примерно 12.73.