Какова длина гипотенузы прямоугольного треугольника, если один катет равен 12 см, а другой катет больше гипотенузы

Константин

27

Давайте решим задачу о длине гипотенузы прямоугольного треугольника. Предположим, что один катет равен 12 см, а другой катет больше гипотенузы на \(x\) см.

Для начала, давайте вспомним основную формулу прямоугольного треугольника, известную как теорема Пифагора. Она гласит: в квадрате длины гипотенузы равен сумме квадратов длин двух катетов.

Математически выглядит это следующим образом:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Где \(c\) - гипотенуза, \(a\) и \(b\) - катеты.

В нашей задаче у нас уже известен один катет, пусть это будет \(a\), и он равен 12 см. Другой катет, пусть это будет \(b\), больше гипотенузы на \(x\) см. Тогда мы можем записать следующее:

\[a = 12 \, \text{см}\]
\[b = c + x\]

Теперь, подставим эти значения в уравнение Пифагора:

\[c^2 = a^2 + b^2\]
\[c^2 = 12^2 + (c + x)^2\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[c^2 = 144 + c^2 + 2cx + x^2\]
\[0 = 144 + 2cx + x^2\]

Теперь, давайте решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать метод дискриминанта, чтобы найти значения корней этого уравнения.

Дискриминант (\(D\)) для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле:

\[D = b^2 - 4ac\]

В нашем случае, у нас \(a = 1\), \(b = 2c\), и \(c = 144\). Подставим эти значения в формулу и решим уравнение:

\[D = (2c)^2 - 4(1)(144)\]
\[D = 4c^2 - 576\]
\[D = 4(c^2 - 144)\]

Далее, нам нужно найти значения \(c\), для которых \(D = 0\), так как это даст нам два корня квадратного уравнения, которые являются длинами гипотенузы пярымоугольника в задаче. Найдем эти значения:

\[D = 0\]
\[4(c^2 - 144) = 0\]
\[c^2 - 144 = 0\]
\[(c - 12)(c + 12) = 0\]

Решая это квадратное уравнение, мы получаем два значения \(c\): 12 и -12. Так как длина не может быть отрицательной, мы выбираем положительное значение \(c\), а именно \(c = 12\) см.

Таким образом, длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 12 см.