Какова длина хорды CD в окружности с центром в точке O и радиусом 6, если хорда AB стягивает дугу в 90°

Сладкий_Ангел

6

Хорда AB стягивает дугу в 90°, что означает, что угол AOB (угол между хордой AB и радиусом AO) равен 90°. Также, если OC параллельна хорде AB, то угол COB также равен 90°.

Используя свойство окружности, можно утверждать, что любой угол, стирающий ту же самую дугу, будет половиной центрального угла.

Таким образом, угол ACB равен половине угла COB, то есть 45°.

Триугольник AOC находится в прямоугольном треугольнике COB. Поскольку COB прямоугольный, то AOC - тоже прямоугольный.

Мы знаем, что радиус окружности равен 6. Поэтому, AO (половина хорды CD) также равно 6.

Рассмотрев треугольник AOC, мы можем использовать теорему Пифагора:

\[AC^2 + AO^2 = OC^2\]

Подставив значения, получим:

\[AC^2 + 6^2 = OC^2\]

Поскольку мы ищем длину хорды CD (которая равна удвоенной длине AC), нам нужно найти значения AC и OC.

Так как угол ACB - 45°, то в треугольник AOC мы имеем дело с прямым треугольником с одним углом 45° и гипотенузой, равной 6. С помощью тригонометрии мы можем найти значения AC и OC.

\[AC = AO \cdot \sin(45°) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\]

\[OC = AO \cdot \cos(45°) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\]

Теперь мы можем вернуться к нашему уравнению Пифагора и подставить найденные значения:

\[(3\sqrt{2})^2 + 6^2 = OC^2\]

\[18 + 36 = OC^2\]

\[OC^2 = 54\]

\[OC = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}\]

Наконец, чтобы найти длину хорды CD, мы удваиваем значение AC:

\[CD = 2 \cdot AC = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\]

Таким образом, длина хорды CD в окружности с центром в точке O и радиусом 6 равна \(6\sqrt{2}\).