Какова длина короткой диагонали ромба, сторона которого равна 12 и угол между диагоналями составляет 120 градусов?

Милочка

15

Чтобы найти длину короткой диагонали ромба, нужно использовать свойства ромба и тригонометрические соотношения. Давайте разберемся пошагово.

1. Начнем с определения ромба. Ромб - это четырехугольник, в котором все стороны равны между собой. Мы знаем, что сторона ромба равна 12.

2. Зная сторону ромба, можно найти длину диагонали. В ромбе, угол между диагоналями будет 120 градусов.

3. Рассмотрим треугольник, образованный двумя диагоналями и биссектрисой угла между ними. Он будет равнобедренным, так как биссектриса делит угол пополам. В ромбе биссектриса будет высотой равнобедренного треугольника.

4. Используя теорему косинусов для треугольника, можно найти длину биссектрисы. Для этого нам понадобится знание угла между диагоналями и длинны сторон треугольника, которые мы уже знаем. Далее будем обозначать биссектрису как h и длину короткой диагонали как d.

5. Применим теорему косинусов:
\[\cos\left(\frac{120}{2}\right) = \frac{h^2 + h^2 - d^2}{2h \cdot h}\]

6. Упростим это уравнение:
\[\cos(60) = \frac{2h^2 - d^2}{2h^2}\]
\[\frac{1}{2} = \frac{2h^2 - d^2}{2h^2}\]
\[\frac{1}{2} = 1 - \frac{d^2}{2h^2}\]
\[\frac{d^2}{2h^2} = 1 - \frac{1}{2}\]
\[\frac{d^2}{2h^2} = \frac{1}{2}\]

7. Заметим, что у нас есть отношение длины диагонали к биссектрисе. Зная, что ромб является равнобедренным, можем обозначить одну из боковых сторон как a и применить теорему Пифагора:
\[h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2\]
\[h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4}\]
\[h^2 = \frac{3a^2}{4}\]

8. Подставим это обратно в уравнение, связывающее длину диагонали и биссектрисы:
\[\frac{d^2}{2 \cdot \frac{3a^2}{4}} = \frac{1}{2}\]
\[\frac{d^2}{\frac{3a^2}{2}} = \frac{1}{2}\]
\[\frac{d^2}{\frac{3a^2}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}\]
\[\frac{d^2}{3a^2} = \frac{1}{4}\]
\[4d^2 = 3a^2\]
\[d^2 = \frac{3a^2}{4}\]
\[d = \sqrt{\frac{3a^2}{4}}\]
\[d = \frac{a}{2}\sqrt{3}\]

9. У нас уже есть длина стороны ромба - a = 12. Подставим это значение в последнее полученное выражение для диагонали:
\[d = \frac{12}{2}\sqrt{3}\]
\[d = 6\sqrt{3}\]

Таким образом, длина короткой диагонали ромба будет \(6\sqrt{3}\).