Какова длина линии пересечения поверхностей шаров с радиусами 8 и 6 см, при расстоянии между их центрами равном

Искандер

29

Для решения этой задачи нам необходимо определить длину линии пересечения двух сфер. Давайте разберемся с пошаговым решением.

1. Первым шагом нужно понять, какими формулами мы можем воспользоваться. Для этой задачи подойдет уравнение сферы. Уравнение сферы с центром в точке \((x_1, y_1, z_1)\) и радиусом \(r\) задается следующим образом:
\((x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 + (z - z_1)^2 = r^2\)

2. В нашем случае у нас есть две сферы. Первая сфера имеет радиус 8 см и центр в точке \((x_1, y_1, z_1)\). Вторая сфера имеет радиус 6 см и центр в точке \((x_2, y_2, z_2)\). Расстояние между центрами сфер равно 10 см.

3. Для упрощения задачи можно выбрать систему координат так, чтобы центр первой сферы находился в начале координат. Таким образом, точки центров сфер будут иметь координаты:

Центр первой сферы: \((0,0,0)\)

Центр второй сферы: \((10,0,0)\)

4. Подставим эти данные в уравнение сферы для первой и второй сферы:

\((x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = 8^2\)

\((x - 10)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = 6^2\)

5. Раскроем скобки и упростим уравнения:

\((x^2 + y^2 + z^2) = 64\) -- (1)

\((x^2 - 20x + 100 + y^2 + z^2) = 36\) -- (2)

6. Вычтем уравнение (2) из уравнения (1) для исключения переменной \(x\):

\((x^2 + y^2 + z^2) - (x^2 - 20x + 100 + y^2 + z^2) = 64 - 36\)

\(20x - 100 = 28\)

\(20x = 128\)

\(x = \frac{128}{20}\)

\(x = 6.4\)

7. Теперь, когда мы знаем значение \(x\), можем подставить его в одно из уравнений и найти значение \(y\) и \(z\). Подставим \(x = 6.4\) в уравнение (1):

\((6.4^2 + y^2 + z^2) = 64\)

\(40.96 + y^2 + z^2 = 64\)

\(y^2 + z^2 = 64 - 40.96\)

\(y^2 + z^2 = 23.04\) -- (3)

8. Теперь у нас есть уравнение, описывающее линию пересечения сфер. Заметим, что эта линия будет кругом с центром на оси \(x\) и радиусом \(\sqrt{23.04}\).

9. Чтобы найти длину линии пересечения, мы можем использовать формулу длины окружности, которая равна \(2\pi r\), где \(r\) - радиус окружности.

\[2\pi \sqrt{23.04} \approx 9.6\pi\]

10. Ответом на задачу является вариант ответа а) 9,6 пи см.

Таким образом, длина линии пересечения поверхностей сфер с радиусами 8 и 6 см при расстоянии между их центрами равным 10 см составляет 9,6 пи см.