Какова длина одной из окружностей, на которые делятся вершины вписанного правильного треугольника и имеющая длину
Какова длина одной из окружностей, на которые делятся вершины вписанного правильного треугольника и имеющая длину 4П см? Какова площадь круга, вписанного в этот треугольник, и равна ли она (см2)?
Букашка 35
Для решения данной задачи, нам необходимо применить некоторые свойства вписанных треугольников.Вписанный треугольник – это треугольник, у которого все вершины лежат на окружности.
Так как в данной задаче говорится о правильном треугольнике, то у нас есть дополнительная информация. Правильный треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны, а все углы равны 60 градусов.
Для начала, найдем длину стороны правильного треугольника. Она равна периметру треугольника, деленному на 3, так как у нас все стороны равны:
\[Длина стороны = \cfrac{4\pi \,см}{3} \,=\, \cfrac{4}{3}\pi \,см\]
Теперь, нам нужно найти радиус описанной окружности вокруг этого треугольника. Для этого, мы можем воспользоваться формулой, которая связывает радиус описанной окружности с длиной стороны треугольника.
Формула: \[Радиус\, описанной\, окружности = \cfrac{Длина\, стороны}{2\sin(60°)}\]
Синус 60 градусов равен \(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\), поэтому:
\[Радиус\, описанной\, окружности = \cfrac{\cfrac{4}{3}\pi \,см}{2 \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}} = \cfrac{4\pi \,см}{2 \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}} = \cfrac{8\pi \,см}{\sqrt{3}} = \cfrac{8\pi \sqrt{3}\, см}{3}\]
Наконец, чтобы найти длину окружности, мы можем воспользоваться формулой:
\[Длина\, окружности = 2 \cdot \pi \cdot Радиус = 2 \cdot \pi \cdot \cfrac{8\pi \sqrt{3}\, см}{3}\]
После упрощения и приближенных вычислений получается:
\[Длина\, окружности \approx 16.85\, см\]
Теперь, нас интересует площадь вписанного круга. Для этого, мы можем воспользоваться формулой:
\[Площадь\, круга = \pi \cdot (\text{Радиус})^2 = \pi \cdot \left(\cfrac{8\pi \sqrt{3}\, см}{3}\right)^2\]
После упрощения и приближенных вычислений получается:
\[Площадь\, круга \approx 67.8 \,см^2\]
Таким образом, получили, что длина одной из окружностей, на которые делятся вершины вписанного правильного треугольника, составляет около 16.85 см. Площадь круга, вписанного в этот треугольник, составляет около 67.8 см².