Какова длина отрезка AB в равнобедренном треугольнике ABC, если известно, что угол A равен 75°, угол B равен 30°

Mariya_1826

25

Чтобы определить длину отрезка AB в равнобедренном треугольнике ABC с заданными условиями, давайте вначале вспомним некоторые свойства равнобедренных треугольников.

Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого две стороны имеют одинаковую длину. В данном случае, мы имеем углы A и B, которые равны 75° и 30° соответственно, что означает, что AB - это основание треугольника, а BC и AC - равные боковые стороны.

Для нахождения длины отрезка AB, нам необходимо использовать тригонометрические соотношения в равнобедренном треугольнике.

Давайте рассмотрим треугольник ABC. У нас есть следующие углы: A равен 75°, B равен 30°, и C равен 90°. Таким образом, сумма всех углов равняется 75° + 30° + 90° = 195°, что соответствует сумме углов треугольника.

Теперь мы можем использовать тригонометрические отношения, основанные на синусе, косинусе и тангенсе, для определения длины отрезка AB.

Так как мы знаем угол B, мы можем использовать соотношение:
\[\sin(B) = \frac{{AC}}{{BC}}\]
для определения длины боковой стороны AC.

Substituting the given values:
\[\sin(30°) = \frac{{AC}}{{10}}\]
\[\frac{1}{2} = \frac{{AC}}{{10}}\]
\[AC = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5\]

Теперь у нас есть длина боковой стороны AC, и мы можем использовать соотношение:
\[\cos(B) = \frac{{AB}}{{AC}}\]
для определения длины основания AB.

Substituting the given values:
\[\cos(30°) = \frac{{AB}}{{5}}\]
\[\frac{{\sqrt{3}}}{2} = \frac{{AB}}{{5}}\]
\[AB = 5 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{2} = \frac{{5\sqrt{3}}}{2}\]

Таким образом, длина отрезка AB в равнобедренном треугольнике ABC составляет \(\frac{{5\sqrt{3}}}{2}\).