Какова длина отрезка, который соединяет точку С, где прямая х - З пересекает параболу у = 3,5х2 + 1, и точку D

Чайник

9

Чтобы найти длину отрезка, соединяющего точки C и D на параболах, нам необходимо определить координаты точек C и D. Для этого нам нужно найти точки пересечения прямой \(y = -z\) с каждой из парабол.

Начнем с параболы \(y = 3,5x^2 + 1\). Подставим \(y = -x\) в уравнение параболы и решим уравнение относительно \(x\):

\[-x = 3,5x^2 + 1\]

Упростим это уравнение:

\[3,5x^2 + x + 1 = 0\]

Мы получили квадратное уравнение. Давайте воспользуемся формулой дискриминанта для нахождения корней этого уравнения. Формула дискриминанта имеет вид:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a = 3,5, b = 1, c = 1\).

Вычислим значение дискриминанта:

\[D = (1)^2 - 4(3,5)(1) = 1 - 14 = -13\]

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что прямая \(y = -x\) не пересекает параболу \(y = 3,5x^2 + 1\). Следовательно, точка C не существует на этой параболе.

Перейдем к параболе \(y = -2,5x^2\). Аналогично подставим \(y = -x\) в уравнение параболы и решим уравнение относительно \(x\):

\[-x = -2,5x^2\]

Упростим это уравнение:

\[2,5x^2 - x = 0\]

Вынесем \(x\) как общий множитель:

\[x(2,5x - 1) = 0\]

Таким образом, у нас есть два возможных значения \(x\): \(x = 0\) и \(x = \frac{1}{2}\).

Теперь, чтобы найти соответствующие значения \(y\) для каждого \(x\), мы подставим эти значения \(x\) обратно в уравнение параболы:

Для \(x = 0\):

\[y = -2,5(0)^2 = 0\]

Для \(x = \frac{1}{2}\):

\[y = -2,5\left(\frac{1}{2}\right)^2 = -2,5\cdot\frac{1}{4} = -0,625\]

Таким образом, точка C имеет координаты (0, 0), а точка D имеет координаты \(\left(\frac{1}{2}, -0,625\right)\).

Теперь, чтобы найти длину отрезка CD, мы можем использовать расстояние между двумя точками в декартовой системе координат. Формула для нахождения расстояния между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) имеет вид:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

Подставим значения координат точек C и D в эту формулу:

\[d = \sqrt{{\left(\frac{1}{2} - 0\right)^2 + (-0,625 - 0)^2}} = \sqrt{{\frac{1}{4} + 0,390625}} = \sqrt{{\frac{1}{4} + \frac{25}{64}}} = \sqrt{{\frac{16}{64} + \frac{25}{64}}} = \sqrt{{\frac{41}{64}}}\]

Мы можем упростить это выражение, заметив, что числитель и знаменатель могут быть делены на 8:

\[\sqrt{{\frac{41}{64}}} = \sqrt{{\frac{41}{8^2}}} = \frac{\sqrt{41}}{8}\]

Таким образом, длина отрезка CD равна \(\frac{\sqrt{41}}{8}\).

Ответ: Длина отрезка, соединяющего точки C и D, на параболах у = 3,5х2 + 1 и у = -2,5х2, равна \(\frac{\sqrt{41}}{8}\).