Какова длина отрезка, который соединяет точку С, где прямая х - З пересекает параболу у = 3,5х2 + 1, и точку D

Чайник

9

Чтобы найти длину отрезка, соединяющего точки C и D на параболах, нам необходимо определить координаты точек C и D. Для этого нам нужно найти точки пересечения прямой $y=-z$ с каждой из парабол.

Начнем с параболы $y=3,5x^2+1$. Подставим $y=-x$ в уравнение параболы и решим уравнение относительно $x$:

$$-x=3,5x^2+1$$

Упростим это уравнение:

$$3,5x^2+x+1=0$$

Мы получили квадратное уравнение. Давайте воспользуемся формулой дискриминанта для нахождения корней этого уравнения. Формула дискриминанта имеет вид:

$$D=b^2-4ac$$

где $a=3,5,b=1,c=1$.

Вычислим значение дискриминанта:

$$D=(1{)}^2-4(3,5)(1)=1-14=-13$$

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что прямая $y=-x$ не пересекает параболу $y=3,5x^2+1$. Следовательно, точка C не существует на этой параболе.

Перейдем к параболе $y=-2,5x^2$. Аналогично подставим $y=-x$ в уравнение параболы и решим уравнение относительно $x$:

$$-x=-2,5x^2$$

Упростим это уравнение:

$$2,5x^2-x=0$$

Вынесем $x$ как общий множитель:

$$x(2,5x-1)=0$$

Таким образом, у нас есть два возможных значения $x$: $x=0$ и $x=\frac{1}{2}$.

Теперь, чтобы найти соответствующие значения $y$ для каждого $x$, мы подставим эти значения $x$ обратно в уравнение параболы:

Для $x=0$:

$$y=-2,5(0{)}^2=0$$

Для $x=\frac{1}{2}$:

$$y=-2,5{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=-2,5\cdot \frac{1}{4}=-0,625$$

Таким образом, точка C имеет координаты (0, 0), а точка D имеет координаты $(\frac{1}{2},-0,625)$.

Теперь, чтобы найти длину отрезка CD, мы можем использовать расстояние между двумя точками в декартовой системе координат. Формула для нахождения расстояния между двумя точками $(x_1,y_1)$ и $(x_2,y_2)$ имеет вид:

$$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$

Подставим значения координат точек C и D в эту формулу:

$$d=\sqrt{{(\frac{1}{2}-0)}^2+(-0,625-0{)}^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+0,390625}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{25}{64}}=\sqrt{\frac{16}{64}+\frac{25}{64}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

Мы можем упростить это выражение, заметив, что числитель и знаменатель могут быть делены на 8:

$$\sqrt{\frac{41}{64}}=\sqrt{\frac{41}{8^2}}=\frac{\sqrt{41}}{8}$$

Таким образом, длина отрезка CD равна $\frac{\sqrt{41}}{8}$.

Ответ: Длина отрезка, соединяющего точки C и D, на параболах у = 3,5х2 + 1 и у = -2,5х2, равна $\frac{\sqrt{41}}{8}$.