Какова длина противолежащей стороны треугольника, если диаметр окружности составляет 6 см, а один из углов вписанного

Золотой_Ключ

43

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать теорему о центральном угле.

Теорема о центральном угле утверждает, что центральный угол, образованный на окружности, равен удвоенному углу, образованному на хорде, которая соответствует этому дуге.

В нашем случае, имеется центральный угол, равный 30°. Согласно теореме, угол, образованный на хорде, составит половину центрального угла, то есть 15°.

Поскольку треугольник вписанный, мы знаем, что угол, образованный на дуге, равен удвоенному углу, образованному на хорде. Таким образом, угол, образованный на дуге, также равен 15°.

Теперь нам нужно найти длину противолежащей стороны треугольника. Мы знаем, что диаметр окружности равен 6 см. Половина диаметра будет равна радиусу окружности.

Так как дуга, на которой находится угол, равна 15°, ее длина составит 15/360 длины окружности. Давайте найдем длину окружности:

\[C = 2\pi r\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[C = 2\pi \cdot 3 = 6\pi ~\text{см}\]

Теперь найдем длину дуги:

\[D = \frac{{15}}{{360}} \cdot 6\pi\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[D = \frac{{15}}{{360}} \cdot 6\pi \approx 0.262\pi ~\text{см}\]

Так как у нас треугольник, а не дуга, нам нужно определить длину противолежащей стороны. Для этого мы делим длину дуги на \(2\pi\) и умножаем на окружающий угол в радианах:

\[l = \frac{{D}}{{2\pi}} \cdot r = \frac{{0.262\pi}}{{2\pi}} \cdot 3\]

Упрощающиеся выражения дают:

\[l = \frac{{0.262}}{{2}} \cdot 3 = 0.393~\text{см}\]

Таким образом, длина противолежащей стороны треугольника составляет около 0.393 см.